确界原理本質上體現了實數的完備性。
記号與術語
U（a；δ）={x| |x-a|<δ} 點a的δ鄰域：以a為中心，δ為半徑的開區間。
U0（a；δ）={x| 0<|x-a|<δ} 點a的δ空心鄰域：以a為中心，δ為半徑的開區間，除去了點a。
U （a；δ）={x| 0<=x-a<δ} 點a的δ右鄰域：從a到a δ。
U-（a；δ）={x| 0<=a-x<δ} 點a的δ左鄰域：從a-δ到a。
U（∞；M）={x| |x|>M} ∞的M鄰域：以0為中心，M位半徑的閉區間的外部領域。
U（ ∞；M）={x| x>M} ∞的M鄰域。
U（-∞；M）={x| x<-M} -∞的M鄰域。
max S：數集S的最大值。
min S：數集S的最小值。
有界集：
定義1，
設S是R的一個子集，S不等于空集：
（1）若∃M∈R，使得∀x∈S，x<=M，則稱M為S的一個上界，稱S為有上界的數集。
（2）若∃L∈R，使得∀x∈S，x>=L，則稱L為S的一個下界，稱S為有下界的數集。
（3）若S既有上界又有下界，則稱S為有界集。
其充要條件為：∃M>0，使∀x∈S，|x|<=M。
（1'）若S不是有上界的數集，則稱S無上界。
即，∀M∈R，∃x0∈S，x0>M。
（2'）若S不是有下界的數集，則稱S無下界。
即，∀L∈R，∃x0∈S，x0<L。
（3'）若S不是有界的數集，則稱S為無界集。
即，∀M>0，∃x0∈S，使得|x0|>M。
确界：
若數集S有上界，則必有無窮多個上界，而其中最小的一個（如果有）具有重要的作用，稱為上确界。
同樣，若S有下界，最大的下界（如果有）稱為下确界。
定義2，
設S是R的一個子集，S不是空集，若η∈R滿足：
（i）∀x∈S，x<=η;（ii）∀a<η，∃x0∈S，使得x0>a，
則稱η是S的上确界，記作 η=supS.
注1 條件（i）說明η是S的一個上界；（ii）說明比η小的數都不是S的上界；
從而說明η是最小的上界，即上确界是最小的上界。
注2條件（ii）可換成：∀ε>0，∃x0∈S，x0>η-ε。
定義3，
設S是R的一個子集，S不是空集，若ξ∈R滿足：
（i）∀x∈S，x>=ξ;（ii）∀b>ξ，∃x0∈S，使得x0<b，
則稱ξ是S的下确界，記作 ξ=infS.
注3下确界就是最大的下屆。
注3下确界定義中的（ii）可換成：∀ε>0，∃x0∈S，x0<ξ ε。
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