随着“全等三角形”、“等腰三角形”等的學習，學生開始正式邁入幾何證明的殿堂，如何針對學生進行“幾何證明”的學法指導是我們近期要思考的問題。對于比較簡單的問題宜采用把握定理 設問推進 學會分析”的策略，而對于較複雜的問題宜從基本圖形、基本輔助線入手進行分析

可拆解的圖形、可分析的輔助線

例1如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，BP⊥AD于P，AB=5，BP=2，AC=9.求證：∠ABP=2∠C

分析

從AP入手分析，AP即是垂線（AP⊥BP）也是角平分線（AP平分∠BAC），如果在一個三角形内的某條線段即是一邊上的高又是該邊所對角的角平分線，即可判斷這個三角形是等腰三角形，這條線段也是該邊的中線（如下圖）

注：（1）打邊框的命題屬于"定理"範疇，可以直接使用；（2）其實“垂徑定理及其推論”的6條表述的就是這個基本模型

然而此時AP并不在某三角形内呀？于是想到“補形”，延長BP交AC于點E，構造等腰△ABE

标注條件後，在圖形的下半部分，出現了另一個等腰△BEC，根據等腰三角形的倍角模型（如下圖）不難得到∠AEB=2∠C，繼而可證∠ABP=2∠C

① 等腰三角形頂角的外角等于底角的兩倍

（AB=AC→∠α=2∠B）

② 三角形的外角等于與之不相鄰内角的兩倍，則這個三角形是等腰三角形

（∠α=2∠B→AB=AC）

複盤此題，可認為是兩個等腰三角形模型的結合

階段小結

1.什麼是"基本圖形分析法"

基本圖形分析法就是在幾何學科中，根據問題的條件和結論，分析并找到組成這個幾何問題的一個或若幹個基本圖形，再應用這些基本圖形的性質，使問題得到解決的幾何分析方法。

和點、線段、弧甚至三角形（這些可稱之為“基本元”）不同，在幾何問題的分析中，組成一個幾何問題的圖形中最簡單、最重要、最基本的，但又是具有特定性質的圖形稱為基本圖形。在對數以千計的幾何問題進行圖形剖析後，就會發現幾何學科中的基本圖形的數量是30多個，但就是這30多個基本圖形的無限組合演繹出了一部能顯現無窮變化的平面幾何學。

2.感悟

基本圖形分析法的核心是"應用條件"（前文介紹的兩個“基本圖形”箭頭左側的條件），因為圖形本身可能“千變萬化”甚至可能“殘缺”，把握“應用條件”結合圖形進行分析是關鍵。

從紛繁複雜的幾何問題中引導學生自己總結出一些“反複出現”、“應用廣泛”的基本圖形，并在實踐中積極運用基本圖形分析法，培養學生複雜的圖形中分離出基本圖形的能力

3

為什麼要“添加輔助線”

① 補全“基本圖形”（如例1）

② 應用幾何概念的定義添加輔助線的方法

（例：給出等腰三角形及底邊上的中點宜連接頂點形成“三線合一”線）；

③ 将多邊形問題，尤其是梯形問題轉化為三角形問題來讨論的添加輔助線的方法；

④ 将線段或角改變位置的添輔助線的方法

添加輔助線的分析可以從不同角度切入，當不同角度切入皆指向同一條輔助線時，這條輔助線大概率就是正确的；

學生對于第4點的輔助線添加策略尤為困惑，在此宜根據教學進度總結出一些輔助線添加的基本分析方法，筆者總結如下：

注：其中從運動的角度分析，宜抓住關鍵點（旋轉中心）與線（對稱軸）

例2

如圖，已知：AD∥BC，EA、EB分别平分∠DAB、∠CBA，點E在CD上．

說明AB=AD BC的理由

分析

從“角平分線”與“截長"入手

以“截長”為改變位置的方向，抓住“角平分線”所在直線為對稱軸進行翻折為手段，構造△ADE≌△AFE，繼而證明△BFE≌△BEC；其中證明∠EFB=∠C是關鍵，可借鑒“幾何證明學法指導（1）”中步步設問“平行條件如何使用？”進行分析。

從“補形”與“補短"入手

觀察角度（1）

兩直線平行、同旁内角角平分線互相垂直

根據“三線合一”基本圖形，延長AE、BC交于點F，"補形"等腰△ABF

觀察角度（2）

根據"平行" “角平分線”的應用條件，補全等腰△ABE

補全等腰△ABE後，繼而證明△ADE≌△ECF即可（證明較易，不再叙述）

回到當下，筆者認為就本校學生的情況及進度而言現階段應掌握五大基本圖形 三大添加輔助線的策略

證“等角”基本圖形

“等腰三角形”基本圖形

等腰三角形倍角模型

① 等腰三角形頂角的外角等于底角的兩倍

（AB=AC→∠α=2∠B）

② 三角形的外角等于與之不相鄰内角的兩倍，則這個三角形是等腰三角形

（∠α=2∠B→AB=AC）

等腰三角形 平行 角平分線

等腰三角形三線合一模型

三大輔助線策略

（1）中線加倍法

（2）角平分線翻折法

（3）線段和差，截長補短