新定義

【方法說明】

1、點

①在矩形ABCD的内部（不含邊界），把橫、縱坐标都是整數的點稱為“好點”．

②對于平面直角坐标系xOy中的點P和⊙C，給出如下的定義：若⊙C上存在兩個點A、B，使得∠APB＝60°，則稱P為⊙C的關聯點．

③在平面直角坐标系中，我們不妨把橫坐标和縱坐标相等的點叫“夢之點”，例如點（1,1），（－2，－2），…都是“夢之點”．

④如圖①，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與A、B重合），分别連接ED、EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強相似點”．

圖①

圖②

2、線

①如果一條直線把一個平面的圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條面積等分線．

②如果兩條線段将一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線．

③我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是抛物線面，經過鍋心和蓋心的縱斷面是兩端抛物線組合而成的封閉圖形，不妨簡稱為“鍋線”

④如圖，在平面直角坐标系 中，A、B為 軸上兩點，C、D為 軸上的兩點，經過點A、C、B的抛物線的一部分C₁與經過點A、D、B的抛物線的一部分C₂組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線稱為“蛋線”．

⑤若兩個二次函數圖象的頂點，開口方向都相同，則稱這兩個二次函數為“同簇二次函數”．

⑥如圖，抛物線y＝ax²＋2ax（a＜0）位于x軸上方的圖象記為F₁，它與x軸交于P₁、O兩點，圖象F₂與F₁關于原點O對稱，F₂與x軸的另一個交點為P₂，将F₁與F₂同時沿x軸向右平移P₁P₂的長度即可得到F₃與F₄；再将F₃與F₄同時沿x軸向右平移P₁P₂的長度即可得到F₅與F₆；…；按這樣的方式一直平移下去即可得到一系列圖象F₁，F₂，…，F_n．我們把這組圖象稱為“波浪抛物線”．

⑦如圖，抛物線y＝ax²＋bx＋c（a＞0）的頂點為M，直線y＝m與x軸平行，且與抛物線交于點A，B，若△AMB為等腰直角三角形，我們把抛物線上A，B兩點之間的部分與線段AB圍成的圖形稱為該抛物線對應的準蝶形，線段AB稱為碟寬，頂點M稱為碟頂，點M到線段AB的距離稱為碟高．

準蝶形AMB

3、三角形

①如果一條抛物線y＝ax²＋bx＋c（a≠0）與x軸有兩個交點，那麼以該抛物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條抛物線的“抛物線三角形”．

②新定義一種三角形，兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．

③如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那麼稱這個三角形為“好玩三角形”．

④若△HNK滿足HN＝2HK，則稱△HNK為以H為頂點的倍邊三角形．

⑤我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“友好三角形”．

4、多邊形

①若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，我們把這條對角線叫做這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形．

②類比梯形的定義，我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．

③若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形．

④如圖，我們把滿足AB＝AD、CB＝CD且AB≠BC的四邊形ABCD叫做“筝形”．

⑤鄰邊不相等的平行四邊形紙片，剪去一個菱形，餘下一個四邊形，稱為第一次操作；在餘下的四邊形紙片中再剪去一個菱形，又剩下一個四邊形，稱為第二次操作；…依此類推，若第n次操作餘下的四邊形是菱形，則稱原平行四邊形為n階準菱形．如圖1，□ABCD中，若AB＝1，BC＝2，則□ABCD為1階準菱形．

⑥我們把由不平行于底的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準等腰梯形”．如圖1，四邊形ABCD即為“準等腰梯形”．其中∠B＝∠C．

⑦六個内角相等的六邊形叫等角六邊形．

7、其他

①對于兩個相似三角形，如果沿周界按對應點順序環繞的方向相同，那麼稱這兩個三角形互為順相似；如果沿周界按對應點順序環繞的方向相反，那麼稱這兩個三角形互為逆相似．

①

②

②在平面直角坐标系xOy中，對于任意兩點P₁（x₁，y₁）與P₂（x₂，y₂）的“非常距離”，給出如下定義：

若|x₁－x₂|≥|y₁－y₂|，則點P₁與點P₂的“非常距離”為|x₁－x₂|；

若|x₁－x₂|＜|y₁－y₂|，則點與點的“非常距離”為|y₁－y₂|．

【典型例題】

1．（13甯波）若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，我們把這條對角線叫做這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形。如菱形就是和諧四邊形．

（1）如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝120°，∠C＝75°，BD平分∠ABC，求證：BD是梯形ABCD的和諧線；

（2）如圖2，在12×16的網格圖上（每個小正方形的邊長為1）有一個扇形BAC，點A，B，C均在格點上，請在答題卷給出的兩個網格圖上各找出一個點D，使得以A，B，C，D為頂點的四邊形的兩條對角線都是和諧線，并畫出相應的和諧四邊形；

（3）四邊形ABCD中，AB＝AD＝BC，∠BAD＝90°，AC是四邊形ABCD的和諧線，求∠BCD的度數．