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怎麼樣理解置信區間
怎麼樣理解置信區間
更新时间:2025-04-02 10:53:25

怎麼樣理解置信區間(置信區間其實很容易懂)1

舉個例子,比如你想知道全國所有中學生的平均身高,你不可能去測量每一個學生的身高,因此采取了随機抽樣的方式,用樣本去預估去全國所有中學生的身高。

假設你随機抽取了100名學生,其平均身高為150cm,方差為25。

點估計

如果你用100個樣本的平均值得出全國中學生的平均身高是150cm,這就是點估計,150cm就是點估計量(根據中心極限定理,樣本的均值和總體的均值是相似的)。

區間估計

如果你不想用樣本的一個平均值去估計整體的平均值(比如150cm),而是用一個區間去估計(比如140-155cm),這就叫區間估計。區間估計相比點估計留有更大的容錯空間。

區間的範圍很大,你可以預測身高是149-151cm之間,也可以預測是140-160cm之間,也可以是其他。但你會看到,前者相比後者預測準确的概率更低,因為其預測的區間範圍太窄;而後者預測準确的概率更高,因為其預測的區間範圍更寬。

這就像投擲一次骰子,如果你預測是3-6,小明預測3-4,那麼你猜對的概率是67%,而小明猜對的概率是33%,你比小明猜對的可能性更大。

所以,具體如何确定估計的範圍(也就是置信區間)取決于你對預估結果準确概率的要求(也就是置信水平)。如果你希望結果準确的概率更高,那麼區間的範圍(置信區間)就設置的越寬;如果置信水平越低,置信區間就設置的越窄。

怎麼樣理解置信區間(置信區間其實很容易懂)2

如何設置置信區間

還是以上文中學生的身高為例,已知100個樣本的平均身高為150cm,方差為25;請預估全國中學生整體的身高範圍(置信區間)。

假設全國中學生的平均身高為μ,标準差為σ;則我們要求的是μ在某個置信水平的取值範圍,總體X服從正态分布

怎麼樣理解置信區間(置信區間其實很容易懂)3

假設100個樣本的平均體重為x(x=150cm),根據中心極限定理,則樣本均值也服從正态分布

怎麼樣理解置信區間(置信區間其實很容易懂)4

由于樣本平均值是呈正态分布的,我們便可以通過這條神奇的曲線推出以下結論:

(1)約有68%的樣本平均值會在群體平均值一個标準誤差的範圍之内;(2)約有95%的樣本平均值會在群體平均值的兩個标準誤差的範圍之内;(3)約有99.7%的樣本平均值會在群體平均值三個标準誤差的範圍之内。

标準差的計算公式如下圖所示:其中SE代表标準誤差,SD代表标準差,N代表樣本量。

怎麼樣理解置信區間(置信區間其實很容易懂)5

将方差=25,n=100帶入到公式中,則100名樣本的平均身高服從正态分布~N(μ, 0.25)。

然後,設置置信水平,常見的有68%,95%,99.7%,此處設置95%的置信水平,則

P(μ-2 * SE < x < μ 2 * SE)=0.95,SE為标準誤差,根據上文公式計算為0.5,帶入公式中為 P(μ-2 * 0.5< x < μ 2 * 0.5)=0.95 , 即P( μ-1< x < μ 1)=0.95 。

求出總體均值μ的範圍 x-1 < μ < x 1,帶入樣本量的平均體重 x =150, 則總體的平均體重範圍即95%的置信區間為149 <u < 151,也就是說全國中學生的平均體重有95%的概率在149到151cm之間。

怎麼樣理解置信區間(置信區間其實很容易懂)6

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