《數的産生與發展》(至整數的加減法止)
彭彤彬
數産生自人類的生活、生産等實踐之中,它是自然客觀存在的一個方面在人腦中的反映。
後由于對客觀自然認識的不斷加深,随着數學理論的發展,不斷産生了新數,促使了數的概念不斷發展。
至今數的發展及數的理論已經較為完備。
基于數發展起來的理論稱為數學。
随着現實科學的不斷發展,人類不斷将數的有關理論加以抽象深化或賦予新的含義,發展起了數學的現代各分支,它們就是高深難懂的高等數學。
本小冊子主要按邏輯發展順序講述數的起源和發展,因為按數的實際發展曆史來講會顯得雜亂,讓人看不到其中的脈絡,而抓不住數及其理論蘊涵的本質。
讓我們從中了解數的發展曆程,及其演化方向,讓我的懂得數是數學及其各分支的基礎,從而明确數的重要性。
一、自然數
1.自然數的概念
人類生存在這個世界上,時時處處需要與客觀物體打交道。
早期人類需要對人員、物品計數,并比較它們的多少,就産生了自然數。
一群人有幾個?1人,2人,3人,4人,…,10人,….
一堆桃子有多少個?1個,2個,3個,…,10個,…
一個人有幾個手?1個,2個。
一個人有幾個手指?1個,2個,…,10個。
一個部落中有幾個家庭?
每個家各有多少人?
射殺一頭野豬用了多少支箭?
一月有多少天?一年有多少月?一年有多少天?
人們在生活、生産中,為了計算事物的多少,便産生了數(動詞)數(名詞),通過數數,最終産生了正整數:1,2,3,…,n,…
若“沒有”某物體,人們就稱這個物體有“0”個。
所以最早0的意義等同于無。
1,2,3,4,n,…稱作正整數。由所有正整數組成的整體,我們稱為正整數集,常用N+(+在N的右下角)來表示。
正整數加入0後,得到:0,1,2,3,…,n,…統稱為自然數。由所有自然數組成的整體,我們稱為自然數集,常用N來表示。
2.自然數的加法
(1)加法定義:
由上可見,由于實際需要,産生了自然數。但我們要知道,更是由于需要産生了自然數的運算。
一個人有3個桃子,另一個人又送了他2個,那麼這個人共有幾個桃子?
3+2=5。
4個人各打3隻、2隻、0隻、8隻野兔,它們一共打了幾隻野兔?
3+2+0十8=13。
你有10個手指,我有10個手指,他有10個手指,我們三人共有多少手指?
10+10+10=30。
就這樣自然而然地産生了自然數的加法運算。
兩個自然數a,b按上面規則相加,即一堆a個物體,另一堆b個物體,将兩堆放在一起,變成一堆,這一堆有多少個物體?得到的結果稱為a與b的和,記為a+b。
求兩自然數和的過程叫做加法運算。
類似可得三個數或更多數的和式,求這些數的和都稱為做加法運算。
如:10820+3500=14320,
3300+5702+8673+1053402
=9002十8673+1053402
=17675+1053402
=1071075。
(2)加法的性質:
人們通過不斷地做加法去求數的和的實驗,明白了自然數有下列性質:
0是最小的自然數。
0表示無。
0+0=0,
0=0 0+0,
0=0 0 0 0 0,
0=0 0 0 0 …+0。
即任意多個0相加均為0。
0+a=a+0=a。即0與任何自然數相加,或任何自然數加0,均等于這個自然數。
1是一個很特殊的自然數,有了它,就可以用加法得到除0、1外的所有自然數。即:
2=1+1,
3=1+1 1,
4=1+1 +1 1,
5=1+1 +1 1+1,
10=10個1的和,
1000=1000個1的和,
一般地:
自然數n=n個自然數1的和。
由上知道,0,1兩個自然數,它倆是很特殊、作用很大、屬性相反的自然數。
0表示無,任意個0相加均為0,不可能和為1,即無中不能生個有。
1表示有,n個1的和就等于n,即1生成了所有表示“有”的自然數。
但無論多少個1的和,不可能等于0。即“有”是客觀存在的,是不可能消失。自然數n可以拆分成n個1的和,表明再大的數,不論你怎麼去分割它,它的每一份再小,也是有,不可能變成0。
所謂的“無中生有”,“變有為無”,在客觀世界中是不存在的。
物質不滅嗎,一種物質可以改變存在形式,但不會消失,也不會沒有任何物質,你把它創造出來。
這個物質客觀存在性,反映在數學中也是不存在的。
要想“無中生有”,“變有為無”,那隻能存在于“幻想”的魔法裡面,或各種神話之中。如上帝創造萬物,大變活人等。
有與沒有,屬性相反,差異很大,無與有由加法不能聯系溝通上,但“有”,隻是量級上的差異,有多有少,但總可以表示成1的和。
自然數a+1是比自然數a大且最接近a的自然數,即兩個自然數a與a+1之間無其它自然數。我們稱它們為相鄰的自然數。
3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,亦稱為連續相鄰的13個自然數。
從自然數m開始下列一組數:m,m+1,m+2,m+3,…,m+n-1,稱為連續的n個自然數。
從2n+1開始的連續n個自然數為:2n+1,2n+2,2n+3,…,2n+(n-1),3n。
從0開始,每次加1可得一個新的自然數,将得到的自然數再加1,又得到一個新自然數,這樣一直加下去,可得到所有的自然數。
即:0,0+1=1,1 1=2,2+1=3,3+1=4,4+1=5,5+1=6,6+1=7,7+1=8,8+1=9,9+1=10,10+1=11,11+1=12,……
我們發現,所有的自然數是數不完,是寫不完的,它不是有限個,我們稱它為無數多個,常記為+∞,讀作正無窮大。
可以知道,+∞比任一個自然數都大。
顯然有:0<1<2<3<4<5<6<7<8<9<10<11<12<…<100<101<102<…<999<1000<1001<1002<…
在做加法時,我們可以發現一個重要的性質:
任兩個自然數的和仍是自然數。即若a,b是自然數,則a+b仍是自然數。
人們稱這個現象為自然數關于加法是封閉的,或自然數具有加法封閉性。
現在我們記為:
若a∈N,b∈N,則a+b∈N。讀作若a是集N的元素,b是集N的元素,則a+b也是N的元素。
(3)加法的運算律:
加法運算遵從的運算律如下:
①兩個自然數求和時,不管哪個在前面,和值一樣。
我們稱這個現象為:自然數的加法滿足交換性。
現在記法為:a+b=b a.
②多個自然數相加,不管是三個或更多個,先加哪兩個,後加哪兩人個,最終總和值相等。
我們稱這種現象為:自然數加法滿足結合律。
現在記法為: (a+b)+c=a (b+c)=a+b+c。
由于自然數加法滿足交換律和結合律,所以一些自然數相加,我們可将要加的某些自然數交換并給合在一起先加,然後再接下去作至求出總和來。
這就是我們求和使用一些技巧的依據。
如:3+5+7+55+21+39
=(3+7)+(5+55)+(21+39)
=10+60+60=130。
如:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+(5+10)
=10十10+10+10+15
=55。
提問:
①1+2+3+…+100=?
②11+12+13+14+…+199=?
③1+2+3+…+n=?
④n+(n+1)+(n+2)+…+(2n-1)+2n=?
3.自然數的減法
(1)自然數減法概念
人的在生活,生産中常遇到下列問題:
你有10個桃子,你給了5個你媽媽,你還剩幾個?
10-5=5個。
一群人有12個,走了6個去打獵,3個去尋柴禾,剩餘的人打掃衛生,問打掃衛生的幾人?
12-6-3=3人。
某月有30天,已經過了17天,本月還有多少天?
30-17=13天。
你昨天剩餘有5個雞蛋,今天雞下了5個,你家人吃了3個,你家今天有幾個雞蛋放到明天?
5+5-3=7。
如此的問題衆多,舉不勝舉。由這樣的問題産生了自然數的減法。
自然數的減法就是從一個自然數中,去掉一個較小(或之相等)的自然數,剩餘多少?求剩結果叫做做減法運算。
現在記法:自然數a減去自然數b記為a一b,所得結果稱為a與b的差,其中a叫做被減數,b叫做減數。
(2)自然數減法性質
在做減法的過程中,人們發現:
1-1=0,2-2=0,3-3=0,4-4=0,5-5=0,6-6=0,…,n-n=0,…
即你收入幾個某物,再給出相等的幾個某物後,你手中就沒有了這個物體。
可見,作減法,可以讓有變成無。這個無是你這裡的,曾有的東西并沒有消失,隻是轉移到别處了。
在做減法的過程中,人們發現:1-2,5-8,189-321,0-54360001,這樣的式子在自然數中是不能進行,是沒有結果的。
即自然數的誠法是不封閉的,或說自然數減法不具備封閉性。
這與自然數加法是封閉的結論不同。
現在記為:若a∈N,b∈N,則a-b∈N有對有錯,所以這個數學結論不成立。讀作:若a是自然數,b是自然數,則差a-b不一定是自然數。若a≥b,a-b是自然數,若a<b,則a-b不是自然數,這時被減數小了,不夠減。
在做減法的過程中,人們發現:
10-7=(3+7)-7=3,
58-17=(41+17)-17=41,
103-78=(25+78)-78=25,
310-205=(105+205)-205=105,
歸納一下,就是:若a+b=c,則c-a=a+b-a=b,c-b=a+b-b=a。
即若求兩數之差,可先将被減數拆分成一數與減數之和,則差就等于這個數。
所以自然數減法,就是自然數加法的變形,是自然數加法的逆過程,我們稱它為自然數加法的逆運算。
常把這一過程如下寫出:要求a-b,設a-b=x,則需找x使x+b=a,所以若a=b+c,則x=a-b=c+b-b=c。
我們知道做含加減法的混合運算時,先算括号裡面的,後算括号外面的。
如(33-17)+(5 17)-(22-15)
=16+22-7
=38-7
=31
在含有括号的混合運算中,人們發現:
如:13-(8 2)=13-8-2(=3),
27-(18 9)=27-18-9(=0),
55-(33 7)=55-33-7(=15)。
一般地有:c-(a+b)=c-a-b。
如:13-(8-2)=13-8+2(=7),
27-(18-9)=27-18 9(=18),
55-(33-7)=55-33+7(=29)。
一般地有:c-(a-b)=c-a+b。
又加上由加法滿足結合律知:a+(b+c)=a+b+c。
總結前面三式,可得到去括号法則:
若括号前為+号,将括号去掉,括号裡各數不變号,若括号前為-号,将括号去掉,括号裡各數都改變符号。
在含有多重括号的時候,先算最裡面層内的,然後算最裡面向外數第二層内的,依次類推,最後算最外面一層括号外的。
如:13-(((5+3)-7)-1)-5
=13-((8-7)-1)-5
=13-(1-1)-5
=13-0-5
=13-5
=8
有多重括号的運算式子,可先去括号,再行計算。
可依次從外層向裡層去括号,去每層括号時,都遵從去括号法則,将括号去完後,再進行加減運算,最終得出結果。
當然也可從最裡層向外層依次去掉每層的括号後再計算。
如:33-((25+3)-(7-5))+5
=33-(25+3)+(7-5)+5=33-25-3 7-5 5
=8-3 7-5 5
=5 7-5 5
=12。
或33-((25+3)-(7-5))+5
=33-(25 3-7 5) 5
=33-25-3 7-5 5
=12。
4.自然數的乘法
(1)自然數乘法概念:
人們在生活、生産中還會遇到下列問題:
每個人有2隻手,那麼5個人共幾隻手?
2+2+2+2+2=2×5=10。
每個人有10個手指,那麼27個人共有多少 個手指?
10+10+10+…+10=27個10的和=10×27=270。
每個人的一隻手有5個手指,每個手指有3個關節,哪麼一隻手共有多少個關節?
3+3+3+3+3=3×5=15。
一般來說,若a,b均是自然數,那麼b個a是多少?
a+a+…+a=b個a的和=b×a=ba。
若a,b均是自然數,那麼a個 b是多少?
b+b+…+b=a個b的和=a×b=ab。
一般地,求兩個自然數a,b之和ab或ba的運算過程叫乘法,ab或ba的值稱為a與b的積,或b與a的積。
可以看出乘法就是多個相同數的加法,ab或ba隻是加法的一種簡便記法。
顯然有:
0+0+…+0=n個0的積=0×n=0。
我們也定義0個n和=n×0=0。
即0×n=n×0=0。
人們為了計算乘法,發明了九九乘法表,可直接計算個位數的乘法。
即:一一得一。
一二得二,二二得四。
一三得三,二三得六,三三得九。
一四得四,二四得八,三四一十二,四四一十六。
…
一九得九,二九一十八,三九二十七,四九三十六,五九四十五,六九五十四,七九六十三,八九七十二,九九八十一。
為了進行多位數的乘法,人們發明了豎式算法。
如:35×21=?
列豎式為:
由上可得:35×21=735。
如:3249×327=?
可得:3249×327=1062423。
弄清了乘法的含義及運算方法,人們便可很容易地得到兩自然數數的積。
(2)自然數乘法的性質:
人類在不斷求自然數積的實踐中,總結出了下列結論:
0×0×0×…×0=n×0=0×n=0。
1×1×…×1=任意個1相乘=1。
n×1=1×n=n。
若自然數a,b滿足a=nb(其中n是一個自然數),則稱a是b的n倍。
如:因15=5×3=3×5=15×1=1×15,所以15為5的3倍,是3的5倍,是15的1倍,是1的15倍。
如:3的33倍=3×33=99=9×11=9的11倍=11x9=11的9倍。
若一個自然數是另一個自然數的2倍,則稱這個自然數為偶數,所有的偶自然數放在一起組織一個整體,叫偶自然數集。除掉偶自然數的所有其它自然數稱為奇數,所有的奇自然數組成一個奇自然數集。
所以自然數集,可以由奇偶性分成兩個無公共元素的集合:偶自然數集,奇自然數集。
顯然,0,2,4,6,8,10,12,…,20000,20002,20004,…均為偶數。
1,3,5,7,9,11,13,15,…,87,89,91,…均為奇數。
人們通過乘法運算知道了,自然數與自然數的積仍為自然數。
我們稱這個結論為自然數乘法具有封閉性。
現在寫成:若a∈N,b∈N,則ab∈N,ba∈N。讀作若a,b是自然數,則積ab,ba都是自然數。
(3)自然數乘法的運算律:
自然數乘法滿足交換律。即:ab=ba,如:3x2=2x3,38×23=23×38。
自然數乘法滿足結合律。
即:a(bc)=(ab)c。
如:(3x2)x4=3x(2x4),
85×(22×5)=(85×22)×5。
另外還多一個運算律:自然數乘法對加法具有分配律。
即:a(b+c)=ab+ac。
如3×(2+6)=3×2 3×6,
121×(53+77)=121×53+121×77。
由運算侓,有時候能讓我們簡化運算。
如:357×5×22
=357×110
=357×(100+10)
=357×100+357×10
=35700+3570
=38270。
如:
(3308-1256-1944)×252
=(3308-1200-2000)×252
=108×252
=(100+8)×252
=25200+8×250+16
=25200+2000+16
=27216。
5.自然數的除法
(1)自然數除法的概念
有了自然數乘法知識後,人們在思考分配問題時,就有了方法。如:有15個桃子,平均分發給5個人,每人多少個?
因3=3x5,可推出每人3個。我們記為:15÷5=3×5÷5=3。
現有12000斤谷子,平均分給40輛獨輪車運去某地,每輛獨輪車需運多少斤?
因12000=300×40,所以每輛獨輪車需運300斤。現在記為:12000÷40=300×40÷40=300。
一般地,若某自然數m,可以寫成另兩自然數a、b的積ab,則将m平分為b份,每份有a個。我們記為:m÷b=ab÷b=a。同樣道理有m÷a=ab÷a=ba÷a=b。
m÷a讀作m除以a,其中m叫被除數,a叫除數。m÷b讀作m除以b,其中m為被除數,b除數。÷為除号。
m÷a的結果叫商,求商的過程叫除法運算,或叫做除法。
可以看出,要求兩自然數的商,需要先将被除數拆分成兩自然數之積,即是先作乘法,然後得到商的。故我們稱自然數的除法是它們乘法的逆運算。
做除法,若按定義做是不方便甚至困難的。
為了計算除法得到商,人們發明了一種直接算法:豎式除法。
如:9361÷407=?
解:列豎式計算如下:
可得:9361÷407=23。
如:123456÷643=?
解:列豎式計算如下:
可得:123456÷643=192。
任何兩個非零自然數的商均可用豎式計算出來。
(2)自然數除法的性質
顯然:0÷m=0,m÷1=m,m÷m=1(其中除數m≠0)。
我們規定:m÷0無意義。即做除法時,除數不能為0。即0÷0,1÷0,2÷0,99÷0,1025÷0均無意義。
因為我們找不到一個自然數a,使1025=a×0,所以1025÷0=a×0÷0=a中的a找不到,也就是不存在。
這是我們以後要注意的,除數不能為0。
在做除法的過程中,人們會發現不是任兩個自然數的商都是自然數,并且存在大量的兩自然數之商不是自然數。如:1÷2,1÷3,1÷4,3÷2,5÷2,7÷2,7÷3,7÷4,7÷5,7÷6,7÷8,7÷9,7÷10,商都不是一個自然數。即:自然數除法不具有封閉性。
現在記為:若a∈N,b∈N,則a÷b∈N可能對,可能不對,在數學上就不對,結論就不成立。
這是與自然數乘法是封閉的結論是不同的,應引起我們的注意。
6.關于自然數及其運算小結
由前面我們知道,自然數中0與1是兩個非常特殊的。
0+0=0-0=0×0=0。
0÷0無意義,m÷0無意義。
a+0=a-0=a,
a×0=0,
a-a=0,
0÷m=0(其中m≠0)。
0=1-1,
1=1+0=0+1=1×1=1÷1,
a=1+1+1+1+…+1=a個1的和(a為大于1的自然數)。
兩個自然數a與a+1之間無自然數,a<a+1。
a×1=1×a=a÷1=a。
a÷a=1(a≠0)。
自然數可以進行加、減、乘、除四則運算。它們各有實際意義,且在數學理論上是互相聯系的,其中減、乘、除都直接或間接來自加法,可見自然數加法的基礎性。
自然數減法是加法的逆運算。自然數除法是乘法的逆運算。自然數乘法是特殊形式加法後的簡化形式。
自然數加法,乘法都具有封閉性,但自然數減法,除法不具備封閉性。
自然數四則混合運算中,先算括号裡面的,後算括号外面的。無括号時,先算乘除,後算加減,一個無括号式中既有乘又有除時,按左先右後既先出現的先算。無括号隻有加減的式中,先後計算順序可随便,能算就行。
如:
3+(6÷2x5-7)-5×10÷2÷5
=3+(3×5-7)-50÷2÷5
=3+(15-7)-25÷5
=3+8-5
=11-5(或=3+3)
=6。
當然,對含括号的自然數四則運算式子,可按去括号法則,先去括号再行計算,不過一定要注意,隻用×和÷号連接的式子應看成一個數。
如45-(3 56÷7×2-10)+3×(81÷27)
=45-3-56÷7×2+10+3×3
=45-8×2+10+9
=45-16+19
=45+3
=48。
由于自然數加法與乘法,滿足交換律、結合律和乘法對加法的分配律,我們可以運用來正确計算或算化計算,故要熟練掌握。
總之,自然數的知識來源于0、1及加法。抓住根本,可以從頭到尾一推到底。
二、整數
1.負整數和整數的概念
有了自然數這個好基礎,我們再從它出發,突破它的限制,獲取新的數“負整數”,從而可以得到所有的整數。
在對自然數的學習中,我們知道自然數對減法不具備封備性。即一個自數減去一個自然數,可能等于一個自然數,也可能出現不夠減的情況。這種現家在日常生活、生産中經常出現。如:
我有20個西瓜,賣出去了15個,還存有有幾個西瓜?
答:20-15=5(個)。
若我有20個西瓜,但某買家一下子要買25個,交易完成後,是個什麼狀況?
答:20-25=欠買家5(個)。
一種情況是手中存有5個,一種情況是倒欠人家5個。
把兩種情況綜合起來看,若第一天存有5個,第二天欠人家5個,可以将第一天存的5個給人家,這樣既不欠别人的,手中西瓜也賣完了,手中恰好有西瓜0個。
即:(存5)+(欠5)=0(個〉。
一家中,盤中有30顆葡萄,晚上2個家人每人吃10顆,還有多少顆?
答:30-20=10(顆)即剩餘10顆。
另一家中,盤中有30顆葡萄,晚上4個家人每人計劃吃10顆,會出現什麼情況?
答:30-40=欠10(顆)即差10顆。
兩個家庭綜合起來看有:(餘10)+(欠10)=0。
一個水庫前天水位深32米,昨天放水,緻水位一天降了2米,今天早晨開始下雨緻水位一天漲了2米,問經過這兩天水位有什麼變化?
答:兩天水位變化為(30-32)+(32-30)=(降2)+(升2)=0。
由上面例子,我們可以看出,世界上存在兩個數值相等,但屬性恰好相反的成對的量。
其實這樣的成對的量是大量存在的。如:在銀行存一萬元與取一萬元,做了1000套房子與賣了1000套房子,挖了18米深的坑與将坑填了18米厚的土石。舉不勝舉。
一般地,我們将數值相同,都為a,但屬性相反的兩個量叫做互為相反數。規定其中一個值為+a,讀作正a,稱為正數,簡記為a;另一個值則記為-a,讀作負a,稱為負數。
由前知所有的自然數,是零和正數。
由上知a+(-a)=0,我們稱a與-a互為相反數。即一對相反數的和為0。如:
5與-5互為相反數,5+(-5)=0,
10與-10互為相反數,10+(-10)=0,
2與-2互為相反數,2+(-2)=0,
10000與-10000互為相反數,10000+(-10000)=0,
1000與-1000互為相反數,1000+(-1000)=0,
18與-18互為相反數,18+(-18)=0。
由上,可獲得前述問題中下列意義和記法:
西瓜問題中20-15=(存5)=+5=5,而20-25=(欠5)=-5。
葡萄問題中30-20=(餘10)=+10=10,30-40=(欠10)=-10。
水位問題中30-32=(降2)=-2,32-30=(升2)=+2=2。
存款問題中(存10000)=+10000=10000=取(-10000),取10000=存(-10000)。
建房問題中(建1000)=1000時,(賣1000)=-1000。
挖坑中挖了18=+18,填18=-18=(挖-18)。
注意前面多一個負号,意義反一次,所以有:挖18米=填(-18米),挖(-18米)=填18米,挖(-(-18))米=填(-18)米=挖18米。
取10元=存(-10)元,存10元=取(-10)元,取(-(-10))元=存(-10)元=取10元。
即有-(-18)=18,-(-10)=10。
這就是∵18+(-18)=0,10+(-10)=0,
∴18與-18互為相反數,10與-10互為相反數,
∴(-18)=-(18),18=-(-18)。
(-10)=-(10),-(-10)=10。
一般地有-(-a)=a。
由上可得:正數的相反數是負數,負數的相反數為正數,0的相反數為0。
一個數的相反數的相反數等于它本身。
要注意理解喲。
這樣一來,原來有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…,999,1000,1001,…這些自然數,現在每個正數都生出了一個新數,就是它的相反數。所以出現了一系列新數:
-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,-10,…,-999,-1000,-1001,…
這些數稱為負整數,與原有的0和正整數一起,組成整數。
整數包括正整數,0,負整數三部分。整數有無數多個。
所有的整數組成的集合叫整數集,常記為Z。顯然:
3∈Z,2∈Z,1∈Z,0∈Z,-1∈Z,-2∈Z,
-3∈Z,-4∈Z,-5∈Z,
-2345∈Z,-876054∈Z。
而因N表示自然數,
∴-4∈N,-5∈N,-2345∈N,-876054∈N都是不成立的。
你想想:欠别人的錢越多,自己的财富越少,水位下降的越大,水位就越低。
所以我們自然而然可以理解以下規定的合理性:
負整數<0<正整數,具體有:
…<-20001<-20000<-19999<-19888<…<-101<-100<-99<-98<…<-5<-4<-3<-2<-1<0<1<2<…
由上述實際意義我們還較易理解下列式子:
-20001+1=-20000,
-20000+1=-19999,
-19999+1=-19998,
…
-5+1=-4,-4+1=-3,
-3+1=-2,-2+1=-1,
-1+1=0,0+1=1,
1+1=2,…
當然也有:
2-1=1,1-1=0,
0-1=-1,-1-1=-2,
-2-1=-3,-3-1=-4,
…,-999-1=-1000,
-1000-1=-1001,…
2.整數的加法
由于整數包括自然數和負整數,而自然數已有加法定義、加法性質及運算律,現在加進了負整數後,又如何相加?
這裡面涉及負整數與負整數,負整數與自然數如何相加的問題,相加的含義是什麼?
弄清相加含義和方法後,它們仍然滿足自然數中加法性質和運算律嗎?會不會出現哪些不同的?
先看負整數與負整數之間相加的含義:
我手中無錢,先欠你10元,又向你借了10元,問合起來我手中一共有多少錢?
顯然:我手中無錢,并欠你20元。這可用數式記為(-10)+(-10)=-20。
由于連續幹旱,農田用水增加,加上人蓄飲用水不停,供水水庫這兩天水位連續下降,昨天降了2米,今天又降了3米,問這兩天水庫水位一共升了多少米?
顯然共降了5米,即上升了-5米。用數式寫為:(-2)+(-3)=-5。
一般地,可得a,b是兩個正整數時,(-a) (-b)=-(a+b)。
這就是說,兩個負整數相加,符号仍為負号,再把它們的相反數相加。
所以兩個負整數之和仍是負整數,且這個負整數比兩個加數均小。如(-2)+(-3)=-5中
-2>-5,-3>-5。
這就得到了兩個負整數的和的含義及計算方法。
由于先欠你2元,後欠你3元,與先欠你3元,後欠你2元,實際結果都是欠你5元。用式子表示為:
(-2)+(-3)=(-3)+(-2)=-5。
由于水位先降8米,後降10米,與先降10米,後降8米,都是共降18米。用式子表示為:
(-8)+(-10)=(-10)+(-8)=-18。
一般地有:可得a,b是兩個正整數時,
∵(-a) (-b)=-(a+b),(-b) (-a)=-(b+a)=-(a+b),
∴(-a) (-b)=(-b) (-a)。
即兩個負整數的和滿足交換。
由于我若三次分别借了你5元,8元,13元,不管順序如何,實際上都欠你26元。
用數式表示為:
((-5) (-8))+(-13)
=(-5)+((-8) (-13))
=-26
一般有:a,b,c是兩個正整數時,
∵((-a) (-b))+(-c)
=(-(a+b))+(-c)
=-(a+b+c)
(-a) ((-b)+(-c))
=(-a)+(-(b+c))
=-(a+b+c)
∴((-a) (-b))+(-c)
=(-a) ((-b)+(-c))
可見,負整數的加法仍然滿足結合律。
還有負整數與自然數的加法呢?
先說負整數與0的加法吧。
第一次我沒找你借錢,第二次我找你借了5元錢時,0+(-5)=-5。
第一次我找你借了5元錢,第二次我沒找你錢時,(-5)+0=-5。
可見負整數與0的和仍然是這個負整數,且負整數與0的和與順序無關,即仍然滿足交換律。
可讓負整數與0的和也滿足結合律。請自證。
那負整數與正整數的和含義與計算方法又是怎麼樣的呢?
我買了3個面包,吃了2個,還有幾個面包?
答:手中還有3+(-2)=+(3-2)=1個面包。
我買了2個面包,但吃3個才能吃飽,我要吃飽,應怎麼辦?
答:手中還有2+(-3)=-(3-2)=-1個面包,即還需買一個面包才行。
我買了2個面包,現吃了2個,我手中有幾個面包?
答:手中還有2+(-2)=+(2-2)=0個面包,即沒有面包。
一般地有:
互為相反數的兩數和為0,即a為正整數時,a+(-a)=0。
若負整數的相反數比正整數小,則它們的和為一個正數,隻需要将正整數減去負整數的相反數。如:
(-350) 400
=+(400-350)
=50。
若負整數的相反數比正整數大,則它們的和為一個負數,和值需先寫一個負号,再寫上用負整數的相反數減去正整數得到的差數。如:
(-400) 350
=-(400-350)
=-50。
用式子表示為:
設a,b是兩個正整數,則:
當a=b時,(-a)+b=0,
當a<b時,(-a)+b=+(b-a),
當a>b時,(-a)+b=-(a-b)。
由上面定義知:
a,b是兩個正整數,則:
當a=b時,b+(-a)=0,
當a<b時,b+(-a)=+(b-a),
當a>b時,b+(-a)=-(a-b)。
比較結論可知:a,b為正整數時,均有
(-a)+b=b+(-a)
所以,正整數與負整數的和滿足交換律。
由實際意義可知正、負整數的和滿足交換律。如:
我前二次借了你50元和30元,第三次你在我手中拿了100元走,問我手中還有你多少錢?
答:(50 30)+(-100)
=-20。即你欠我20元。
如果是第一次我借了你50元,第二次你在我手中拿了100元走,第三次我借了你30元,問我手中還有你多少錢?
答:((50+(-100))+30
=(-50)+30=-20。
比較上兩式所得結果發現是一樣的,即:
(50 30)+(-100)
=((50+(-100))+30。
可見含三個正、負整數的和,先加這兩個,還是先加另兩個,和不交。這就是加法的結合律。
一般情況,請自行分類讨論去證明。
到此為止,我們就知道了,自然數加了新的負整數,得到整數後,加法的含義是什麼,加法是怎麼做的,并知道了整數的加法仍然滿足加法的交換律和結合律。
為了簡便書寫整數加法含義,我們引進絕對值概念,規定:一個正數與0的絕對值是它本身,一個負數的絕對值是它的相反數。并把數a的絕對值記為la丨。
這樣有:a>0時lal=a,l0l=0,a<0時lal=-a。
如l304l=304,l-1l=1,l-1l=1,l-3l=3,l-9l=9,l-3809l=3809。
可以看出,整數取絕對值的作用就是去掉負号,把整數轉化為自然數。
由此我們知道lal≥0。
這樣一來,我們就有:
已知整數a,b,
若a≥0,b≥0,a+b按自然數加法進行。
若a≤0,b≤0,則a+b=-(lal+lbⅠ)。
若a≥0,b≤0,則:
①當laⅠ>lbⅠ時a+b=+(laⅠ-lbⅠ),
②當laⅠ<lbⅠ時a+b=-(lbⅠ-laⅠ)
③當laⅠ=lbⅠ時a+b=0。
若a≥0,b≥0,a+b按自然數加法進行。
這就是整數加法的定義及計算方法。可以看出,要分很多情況來讨論,才能得出和值。
由前讨論知:
若a,b,c∈Z,則有:
①a+b=b+a(交換律)。
②(a+b)+c=a+(b+c)(結合律)。
運算律可以簡化我們的計算。如:56 (-32) (-21) (-44)
=56+(-(32+21+44))
=56+(-97)
=-(97-56)
=-41。
或56 (-32) (-21) (-44)
=(56 (-44)) ((-32) (-21))
=12+(-53)
=-(53-12)
=-41。
3.整數的減法
由前知:a+b=0時,a,b互為相反數。
自然數中減法是加法的逆運算。
所以兩個整數的減法我們給出如下定義:
a-b==a+(-b)
即a減去b的差就是a與b的相反數的和。
如:5-4=5 (-4)=1,這與自然數減法是相符的。
3-5=3 (-5)
=-(5-3)=-2,
這就是我有3支筆,你要拿走5支,我手中還差2支。
3-(-55)=3 55=58,
這就是我有3個包子,去掉你從我這拿走的55個包子,也就是我有3個包子,你又還了我55個包子,我手中實有58個包子。
(-65)-(-43)
=(-65)+43
=-(65-43)
=-22。
這就是我欠你65元錢,去掉你從我欠你的43元,就是我還了你43元,當然實欠你22元了。
也就是說,整數的減法雖多出了自然數與自然相減時不夠減的情況,多出了自然數減負整數的情況,多出了負整數減負整數的情況,但與自然數内部減法一樣,不但統一了作減法的樣式和步驟,也有相同實際意義。
對于整數計算式中去括号的問題,我們舉例說明如下:
∵-22 ((-65)-(-43))
=-22 (-(65-43))
=-22 (-22)
=-44,
-22 (-65)-(-43)
=-87 43
=-(87-43)
=-44,
∴-22 ((-65)-(-43))
=-22 (-65)-(-43)。
即括号前為+号時,去掉括号後,括号内各數保持不變。
又∵-22-((-65)-(-43))
=-22-(-22)
=0,
-22-(-65)+(-43)
=-22 65 (-43)
=43-43
=0,
∴-22-((-65)-(-43))
=-22-(-65)+(-43)。
即括号前為-号時,去掉括号後,括号内各數均應改變符号,+号變成-号,-号變成+号。
一般地有:若整數加減式中含有括号,去每層括号時,仍遵循去括号法則:
a,b,c∈Z時,
a+(b+c)=a+b+c,
a-(b+c)=a-b-c,
a-(b-c)=a-b+c,
a-(-b+c)=a+b-c,
a-(-b-c)=a+b+c。
由前面知識我們知道,任兩個整數的差仍為整數,所以整數加法具有封閉班性。即:
a∈Z,b∈Z,則a-b∈Z成立。
這是與自然數減法的最大區别,是自然數引進了負整數後,将減法的不封閉變成了封閉。
可見,引進了負整數後,數的性質變得更完善、完備和完美。
整數減法還具有下列性質:
0-0=0,
0-a=0+(-a)=-a,
0-(-a)=0+a=a,
a-0=a+0=a,
a-a=0,(-a)-(-a)=0,
lal=I-aI,
若Ial=5,則a=±5。
…
問題:la+bI=?
la-bI=?
4.整數的乘法(後續)
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