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準确理解二次函數的定義,根據其特征把相關的生産生活問題轉化成二次函數模型,從而實現問題的解決。而其基礎就在于我們首先要學會二次函數的定義。
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22.1 二次函數的圖象和性質
22.1.1 二次函數
01 基礎題
知識點1 二次函數的定義
1.(蘭州中考)下列函數解析式中,一定為二次函數的是(C)
A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c
C.s=2t2-2t+1 D.y=x2+
2.圓的面積公式S=πR2中,S與R之間的關系是(C)
A.S是R的正比例函數
B.S是R的一次函數
C.S是R的二次函數
D.以上答案都不對
3.若y=(a+2)x2-3x+2是二次函數,則a的取值範圍是a≠-2.
4.已知二次函數y=1-3x+5x2,則二次項系數a=5,一次項系數b=-3,常數項c=1.
5.已知兩個變量x,y之間的關系式為y=(a-2)x2+(b+2)x-3.
(1)當a≠2時,x,y之間是二次函數關系;
(2)當a=2且b≠-2時,x,y之間是一次函數關系.
6.判斷函數y=(x-2)(3-x)是否為二次函數,若是,寫出它的二次項系數、一次項系數和常數項;若不是,請說明理由.
解:y=(x-2)(3-x)=-x2+5x-6,它是二次函數,它的二次項系數為-1,一次項系數為5,常數項為-6.
知識點2 建立二次函數模型
7.國家決定對某藥品價格分兩次降價,若設平均每次降價的百分率為x,該藥品原價為18元,降價後的價格為y元,則y與x的函數關系式為(C)
A.y=36(1-x) B.y=36(1+x)
C.y=18(1-x)2 D.y=18(1+x2)
8.已知一個直角三角形兩直角邊的和為10,設其中一條直角邊為x,則直角三角形的面積y與x之間的函數關系式是(A)
A.y=-x2+5x B.y=-x2+10x
C.y=x2+5x D.y=x2+10x
9.在半徑為4 cm的圓中,挖出一個半徑為x cm的圓,剩下的圓環的面積是y cm2,則y與x的函數關系為(D)
A.y=πx2-4 B.y=π(2-x)2
C.y=π(x2+4) D.y=-πx2+16π
10.某校九(1)班共有x名學生,在畢業典禮上每兩名同學都握一次手,共握手y次,試寫出y與x之間的函數關系式y=x2-x,它是(填“是”或“不是”)二次函數.
02 中檔題
11.下列函數中,二次函數有(C)
①y=1-x2;②y=;③y=x(1-x);④y=(1-2x)(1+2x);⑤y=9x2-(3x-1)2.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
12.如果二次函數y=x2+2x-7的函數值是8,那麼對應的x的值是(C)
A.5 B.3 C.3或-5 D.-3或5
13.菱形的兩條對角線的和為26 cm,則菱形的面積S(cm2)與一對角線長x(cm)之間的函數關系為S=x(26-x),是二次函數,自變量x的取值範圍是0<x<26.
14.已知兩個變量x、y之間的關系為y=(m-2)xm2-2+x-1,若x、y之間是二次函數關系,求m的值.
解:根據題意,得
m2-2=2且m-2≠0.
解得m=-2.
即m的值為-2.
15.一輛汽車的行駛距離s(單位:m)與行駛時間t(單位:s)的函數關系式是s=9t+t2,經12 s汽車行駛了多遠?行駛380 m需要多少時間?
解:當t=12時,s=9×12+×122=180.
∴經12 s汽車行駛了180 m.
當s=380時,9t+t2=380.
解得t1=20,t2=-38(不合題意,舍去).
∴該汽車行駛380 m需要20 s.
16.一塊矩形的草地,長為8 m,寬為6 m,若将長和寬都增加x m,設增加的面積為y m2.
(1)求y與x之間的函數關系式;
(2)若要使草地的面積增加32 m2,長和寬都增加多少米?
解:(1)y=(8+x)(6+x)-8×6,即y=x2+14x.
(2)當y=32時,x2+14x=32.
解得x1=2,x2=-16(舍去).
答:長和寬都增加2米.
17.如圖,有一個長為24米的籬笆,一面利用牆(牆的最大長度a為10米)圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃.設花圃的寬AB為x米,面積為S平方米.
(1)求S與x的函數關系式;
(2)如果要圍成面積為45平方米的花圃,AB的長為多少米?
解:(1)S=x(24-3x),即S=-3x2+24x.
(2)當S=45時,-3x2+24x=45.
解得x1=3,x2=5.
又∵當x=3時,24-3x=15>10(舍去),
∴x=5.
答:AB的長為5米.
03 綜合題
18.如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 mm,BC=24 mm,動點P從點A開始沿邊AB向B以2 mm/s的速度移動(不與點B重合),動點Q從點B開始沿邊BC向C以4 mm/s的速度移動(不與點C重合).如果P、Q分别從A、B同時出發,設運動的時間為x s,四邊形APQC的面積為y mm2.
(1)求y與x之間的函數關系式;
(2)求自變量x的取值範圍;
(3)四邊形APQC的面積能否等于172 mm2.若能,求出運動的時間;若不能,說明理由.
解:(1)由運動可知,AP=2x,BQ=4x,則
y=BC·AB-BQ·BP
=×24×12-·4x·(12-2x),
即y=4x2-24x+144.
(2)∵0<AP<AB,0<BQ<BC,
∴0<x<6.
(3)當y=172時,4x2-24x+144=172.
解得x1=7,x2=-1.
又∵0<x<6,
∴四邊形APQC的面積不能等于172 mm2.
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