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準确理解二次函數的定義，根據其特征把相關的生産生活問題轉化成二次函數模型，從而實現問題的解決。而其基礎就在于我們首先要學會二次函數的定義。

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22．1　二次函數的圖象和性質

22．1.1　二次函數

01　　基礎題

知識點1　二次函數的定義

1．(蘭州中考)下列函數解析式中，一定為二次函數的是(C)

A．y＝3x－1 B．y＝ax2＋bx＋c

C．s＝2t2－2t＋1 D．y＝x2＋

2．圓的面積公式S＝πR2中，S與R之間的關系是(C)

A．S是R的正比例函數

B．S是R的一次函數

C．S是R的二次函數

D．以上答案都不對

3．若y＝(a＋2)x2－3x＋2是二次函數，則a的取值範圍是a≠－2.

4．已知二次函數y＝1－3x＋5x2，則二次項系數a＝5，一次項系數b＝－3，常數項c＝1.

5．已知兩個變量x，y之間的關系式為y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3.

(1)當a≠2時，x，y之間是二次函數關系；

(2)當a＝2且b≠－2時，x，y之間是一次函數關系．

6．判斷函數y＝(x－2)(3－x)是否為二次函數，若是，寫出它的二次項系數、一次項系數和常數項；若不是，請說明理由．

解：y＝(x－2)(3－x)＝－x2＋5x－6，它是二次函數，它的二次項系數為－1，一次項系數為5，常數項為－6.

知識點2　建立二次函數模型

7．國家決定對某藥品價格分兩次降價，若設平均每次降價的百分率為x，該藥品原價為18元，降價後的價格為y元，則y與x的函數關系式為(C)

A．y＝36(1－x) B．y＝36(1＋x)

C．y＝18(1－x)2 D．y＝18(1＋x2)

8．已知一個直角三角形兩直角邊的和為10，設其中一條直角邊為x，則直角三角形的面積y與x之間的函數關系式是(A)

A．y＝－x2＋5x B．y＝－x2＋10x

C．y＝x2＋5x D．y＝x2＋10x

9．在半徑為4 cm的圓中，挖出一個半徑為x cm的圓，剩下的圓環的面積是y cm2，則y與x的函數關系為(D)

A．y＝πx2－4 B．y＝π(2－x)2

C．y＝π(x2＋4) D．y＝－πx2＋16π

10．某校九(1)班共有x名學生，在畢業典禮上每兩名同學都握一次手，共握手y次，試寫出y與x之間的函數關系式y＝x2－x，它是(填“是”或“不是”)二次函數．

02　　中檔題

11．下列函數中，二次函數有(C)

①y＝1－x2；②y＝；③y＝x(1－x)；④y＝(1－2x)(1＋2x)；⑤y＝9x2－(3x－1)2.

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

12．如果二次函數y＝x2＋2x－7的函數值是8，那麼對應的x的值是(C)

A．5 B．3 C．3或－5 D．－3或5

13．菱形的兩條對角線的和為26 cm，則菱形的面積S(cm2)與一對角線長x(cm)之間的函數關系為S＝x(26－x)，是二次函數，自變量x的取值範圍是0＜x＜26．

14．已知兩個變量x、y之間的關系為y＝(m－2)xm2－2＋x－1，若x、y之間是二次函數關系，求m的值．

解：根據題意，得

m2－2＝2且m－2≠0.

解得m＝－2.

即m的值為－2.

15．一輛汽車的行駛距離s(單位：m)與行駛時間t(單位：s)的函數關系式是s＝9t＋t2，經12 s汽車行駛了多遠？行駛380 m需要多少時間？

解：當t＝12時，s＝9×12＋×122＝180.

∴經12 s汽車行駛了180 m.

當s＝380時，9t＋t2＝380.

解得t1＝20，t2＝－38(不合題意，舍去)．

∴該汽車行駛380 m需要20 s.

16．一塊矩形的草地，長為8 m，寬為6 m，若将長和寬都增加x m，設增加的面積為y m2.

(1)求y與x之間的函數關系式；

(2)若要使草地的面積增加32 m2，長和寬都增加多少米？

解：(1)y＝(8＋x)(6＋x)－8×6，即y＝x2＋14x.

(2)當y＝32時，x2＋14x＝32.

解得x1＝2，x2＝－16(舍去)．

答：長和寬都增加2米．

17．如圖，有一個長為24米的籬笆，一面利用牆(牆的最大長度a為10米)圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃．設花圃的寬AB為x米，面積為S平方米．

(1)求S與x的函數關系式；

(2)如果要圍成面積為45平方米的花圃，AB的長為多少米？

解：(1)S＝x(24－3x)，即S＝－3x2＋24x.

(2)當S＝45時，－3x2＋24x＝45.

解得x1＝3，x2＝5.

又∵當x＝3時，24－3x＝15＞10(舍去)，

∴x＝5.

答：AB的長為5米．

03　　綜合題

18．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，動點P從點A開始沿邊AB向B以2 mm/s的速度移動(不與點B重合)，動點Q從點B開始沿邊BC向C以4 mm/s的速度移動(不與點C重合)．如果P、Q分别從A、B同時出發，設運動的時間為x s，四邊形APQC的面積為y mm2.

(1)求y與x之間的函數關系式；

(2)求自變量x的取值範圍；

(3)四邊形APQC的面積能否等于172 mm2.若能，求出運動的時間；若不能，說明理由．

解：(1)由運動可知，AP＝2x，BQ＝4x，則

y＝BC·AB－BQ·BP

＝×24×12－·4x·(12－2x)，

即y＝4x2－24x＋144.

(2)∵0＜AP＜AB，0＜BQ＜BC，

∴0<x<6.

(3)當y＝172時，4x2－24x＋144＝172.

解得x1＝7，x2＝－1.

又∵0<x<6，

∴四邊形APQC的面積不能等于172 mm2.