作者 | 劉洋洲

來源 | 轉自知乎專欄《萬物皆數也》，“數學英才”獲授權轉載，在此感謝！

我們主要以二維線性變換為例，展現線性變換的特征理論。二維的好處除了非常直觀、方便展示之外，還可以結合複數去理解，所以請有興趣的讀者浏覽回顧上一期文章《莫比烏斯變換與正切函數》（點擊标題查看文章）。

1.印象

觀察如上動圖，我們先來對線性變換有個直觀的印象。

圖中紅色單位圓被線性變換映射為藍色的橢圓，單位圓上的紅色向量與橢圓上的藍色向量一一對應。形象地講，紅色單位圓沿着兩個方向被壓縮或拉伸，于是形成了藍色的橢圓。

2.定義

線性變換是從平面到平面的映射：

其形式如下：

如果寫為矩陣形式則更為簡潔：

在本文我們暫時不去區分線性變換和其所對應的矩陣。形式上的定義或許讓人有些費解，從性質出發的定義則更能窺探其本質：

❝

「線性變換的性質定義」對任意向量滿足以下性質的稱為線性變換：

• ；

• .

❞

特别地，我們中學學過的正比例函數就是最簡單的線性映射。

由以上性質第一條可以立即推出「零向量的像必定是零向量」：

或者依據第二條：

3.舉例

• 位似變換是線性變換。

• 壓縮變換是線性變換。

• 旋轉變換是線性變換。

• 以上三種變換的複合也是線性變換。

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4.幾何性質

❝

設是線性變換，則以下命題成立：

• 「1」兩直線平行經過變換後仍變為兩平行直線。

• 「2」兩平行線段之比是的不變量。

• 「3」兩封閉圖形的面積之比是的不變量。

❞

隻需要依照定義證明計算即可。第3點可以先證明對于三角形成立，然後再利用内接三角形逼近任意封閉圖形面積。事實上，第3點是第2點的推論，可以利用祖暅原理說明，留給讀者自己思考。

我們借用一道圓錐曲線的題目去熟悉線性映射的性質。

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「例題」 如上圖，橢圓上的弦垂直于橢圓長軸，，，則兩弦平行，即

「證」我們沿橢圓短軸方向，将橢圓拉長為正圓（滑動上圖），由前面的叙述可知，這是一個線性變換。由線性變換的性質，我們隻需證明在圓中兩弦平行即可（讀者請思考為什麼）。由圓周角定理：因為，所以點是弧和的中點，連接點與圓心，由垂徑定理可知，于是

二、特征理論

5.特征思想下的線性變換

對于二維線性變換，隻需要知道兩個不共線的向量的取值，就可以決定一個線性變換。這是由「平面向量基本定理」所決定的：任取兩個不共線的向量，則對于平面上的任意向量，都存在兩個實數有如下等式成立

我們稱被向量線性表示。已知線性映射在上的取值，則由線性映射的性質：

回到原動圖，我們發現紅色的指針和藍色的指針存在共線的情況，我們把指針同向、反向視為一種情況，則這樣的現象一共會發生兩次，在兩條直線上。共線意味着什麼呢？設紅色向量是，與之共線的藍色向量設為，于是由映射關系：

其中稱為的「特征值」，稱為的「特征向量」。

結合我們前面的分析，如果我們知道一個線性映射的兩個特征向量以及特征值，那麼任意向量都可以被這兩個向量線性表示（通過調整系數），于是線性映射的像會有異常簡潔的形式：

這符合我們前面對于圖像的觀察：沿着兩個方向上的伸縮，導緻圓變為橢圓。

所以，我們該如何求一個線性變換的特征值與特征向量呢？

6.逆變換與逆矩陣

我們說一個變換可逆，是指存在一個逆變換，使得兩者的複合是恒等變換。所謂恒等變換，即用矩陣表示即是

其中表示恒等變換所對應的單位矩陣

上文在介紹線性變換時我一直避免談論退化的情形，即不是滿射，等價于不可逆。例如

事實上，我們可以試着解出來一個矩陣可逆的充要條件，或者說逆矩陣公式。這對于二維矩陣是很容易的事情——當然這隻是低維的幸運。

我們看到，分母是可逆的充要條件，記，我們稱之為「行列式」。

行列式的幾何意義是将單位正方形變換為平行四邊形的有向面積。在微積分中，換元積分中的Jacobi行列式，正是坐标變換的切映射，它是一個線性變換。在計算定積分（面積）時，我們需要考慮坐标變換在局部出現的伸縮效應：一個無窮小的正方形被壓縮為無窮小的平行四邊形。這都是一脈相承的思想。

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行列式不為零也是如下方程組有唯一解的充要條件：

這正是上文第一小節中的形式定義，可見方程組和線性變換一體兩面。

通過解上面的方程組，我們可以得到一個基本且重要的結論：

「若矩陣的行列式，則」

成立的理由是以下條件的等價性：

• 可逆；

• 是雙射；

• ；

• 以下方程組有唯一解：

這四點同時是對該小節的總結。

這個命題的逆否命題下文将會用到：

❝

若，則矩陣不可逆，即

❞

7.特征方程

我們約定特征向量必須是指非零向量，但是矩陣卻把一個非零向量變成一個零向量，這由我們剛才得到的結論立即可知，矩陣的行列式為零。我們把如下方程稱之為「特征方程」——

拜低維所賜，這個方程在二維的情況很容易求解：

其中稱為「迹」。特征方程的判别式為，我們分别讨論根的各種情況對應的變換：

• 當時，即此時有一對實根。兩根互異的情況就如同本文開篇的動圖一樣，仔細觀察兩個運動的指針在兩直線共線；下圖則是重根的情形，兩個運動的指針隻在藍色特征向量所在直線共線。

• 當時，即此時有一共轭的複根。這說明不存在實特征向量的實數倍的伸縮變換，那麼一定是發生了旋轉！上一篇文章《莫比烏斯變換與正切函數》中（點擊标題查看文章），利用球極投影将複平面上的莫比烏斯變換可視化，其等價為黎曼球面上的旋轉和伸縮。

區别于第一幅動圖，上圖對應的是的情況，也就是說特征方程有兩個複根。我們看到随着紅色單位向量的轉動，藍色單位向量也在同向轉動，并且兩者始終保持一定範圍的角度，于是兩者任何時刻都不可能共線——從幾何直觀上我們一眼就可以分辨無實特征根的情況。

8.高維線性變換

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在理解二維線性變換的前提之下，三維乃至高維線性變換是類似的。上圖展示了單位球體經過線性變換後的像，是一個橢球體。

參考文獻

[1] Thristan Needham. 複分析:可視化方法[M]. 人民郵電出版社, 2009.

[2] 梅向明. 高等幾何(第二版)[M]. 高等教育出版社, 2000.

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