巧用旋轉補形求面積(2020年陝西西安第25題)

求不規則圖形的面積，通常方法是将其通過割補變成規則圖形。對于較為複雜的圖形，也可先将其中較規則且比較容易求的部分與其餘部分分離，重點解決較難求的部分。

求解幾何綜合題的思路究竟怎樣才能找準，一直是教學中值得思考的問題，這首先要建立在認真讀題的基礎之上，從題目中每個條件出發去拓展延伸，觸發回憶，形成知識網絡，在這個過程中，并非都能一次性找到突破口，需要反複嘗試，同時每次嘗試不要輕易全盤否定，部分推導結果可能還會用于下一次推導，整個解題過程，也是對自我知識體系的一次全面測試。

題目

問題提出

(1)如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，∠ACB的平分線交AB于點D，過點D分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别為E、F，則圖1中與線段CE相等的線段是____________________；

問題探究

(2)如圖2，AB是半圓O的直徑，AB=8，P是弧AB上一點，且弧PB=2弧PA，連接AP，BP，∠APB的平分線交AB于點C，過點C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别為E，F，求線段CF的長；

問題解決

(3)如圖3，是某公園内“少兒活動中心”的設計示意圖，已知圓O的直徑AB=70m，點C在圓O上，且CA=CB，P為AB上一點，連接CP并延長，交圓O于點D，連接AD，BD，過點P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别為E，F，按設計要求，四邊形PEDF内部為室内活動區，陰影部分是戶外活動區，圓内其餘部分為綠化區，設AP的長為x(m)，陰影部分的面積為y(m²).

①求y與x之間的函數關系式；

②按照“少兒活動中心”的設計要求，發現當AP的長度為30m時，整體布局比較合理，試求當AP=30m時，室内活動區(四邊形PEDF)的面積.

解析：

(1)根據角平分線上的點到這個角兩邊距離相等，可得DE=DF，同時∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC可知正方形CEDF，于是和線段CE相等的線段有三條，分别是CF，DE，DF；

(2)由直徑所對的圓周角是直角，得到∠APB=90°，因此和前一小題極為類似，仍然可得正方形PECF，而新增的弧PB=2弧PA，我們觀察它們分别所對的圓周角，即∠PAB=2∠ABP，而它們恰好又是Rt△ABP的兩個銳角，所以∠ABP=30°，可求得AP=4；

現在圖中含30°角的直角三角形就很多了，我們取其中一個，Rt△ACE，設CE=a，則AE=√3a/3，AP=√3a/3 a，得方程√3a/3 a=4，解得a=6-2√3，即CF=6-2√3；

(3)直徑AB所對的∠ADB和∠ACB均為直角，而CA=CB則告訴我們圓内有兩條相等的弦，于是它們所對的∠ADC=∠BDC，這又回到了前面兩個小題中的角平分線條件了，即CD平分∠ADB，所以我們同樣可證明正方形DEPF；

①再來看陰影部分，其中直徑AB的上半部分容易求，△ABC本身就是等腰直角三角形，斜邊為70m，所以它的面積為1225m²；

剩下的△APE和△BPF面積如何求？

先做前期準備，AP=x，BP=70-x，仍然設正方形DEPF邊長為a；

失敗嘗試一：分别求它們的兩條直角邊，顯然△APE∽△PBF，利用比例線段表示出AE=ax/(70-x)，BF=a(70-x)/x，結果表示出來的解析式非常複雜，雖然可以消掉參數a，但不符合要求；

失敗嘗試二：用△ADB減掉正方形DEPF似乎可行，仍然利用△APE∽△PBF∽△ABD，表示出AD=70a/(70-a)，BD=70a/x，得到一個更為複雜的代數式，不符合要求；

經過這兩次失敗嘗試，發現直接用三角形面積公式表示這兩個三角形面積有困難，因此尋思如何将它們轉換成較容易求面積的圖形，這時再次看到正方形DEPF，聯想到“手拉手”模型，何不将△APE繞點P旋轉過來呢？如下圖：

過點P作PG⊥AB，交BD于點G，我們可得△APE≌△GPF，現在再來看△BPG，這也是個直角三角形，并且PG=PA=x，BP=70-x，所以它的面積為1/2(70-x)x=35x-1/2x²，所以y=1225 35x-1/2x²；

②利用前面的探索結果，我們來求正方形DEPF的邊長a，仍然觀察△BPG，現在知道PG=AP=30m，BP=40m，可求出BG=50m，即它是一個三邊之比為3:4:5的直角三角形，接下來我們可利用相似三角形或三角函數來完成計算，△BPF三邊之比也為3:4:5，因此可求出PF=24m，最後得到正方形DEPF的面積為24²=576m².

解題反思

這三個小題均出現了直角三角形中，直角的角平分線構成的正方形，基于這個模型，逐步拓展，加深難度。

對于正方形中的手拉手模型，仍然是常見題型，在第3小題的兩次失敗嘗試中，我們發現失敗的原因無一不是依靠“死算”，硬是要用含x的代數式表示三角形的底和高，結果得到了一個無法簡化的複雜代數式，當然，不經曆這種失敗，最終也不會去進一步思考有沒有其它方法，從而想起轉化拼接，再聯想旋轉全等。

這樣的失敗嘗試，在平時教學中不妨讓學生多體驗，部分學生執迷于用代數方法計算，認死理，俗稱“死算”、“硬算”，在數學學習中并不可取，吃過幾次虧，再反思幾次，方法才能變得靈活，這些經驗，刷題是出不來的，要靠悟。

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