拉普拉斯變換深入理解-tft每日頭條

拉普拉斯變換

在信号處理領域，有時候我們把信号放到頻域進行分析，比時域更加直觀且有用，但是一個信号如果傅裡葉變換存在，必須要滿足狄利赫裡條件：

1）、函數在任意有限區間内連續，或隻有有限個第一類間斷點；

2）、在一個周期内，函數有有限個極大值或極小值；

3）、x(t)絕對可積；

特别是第三條絕對可積這一條件，就把大多數信号拒在傅裡葉變換的門外。

為了讓不滿足絕對可積的信号也能進行傅裡葉變換，就引入了拉普拉斯變換，其主要思想是在原信号上乘上一個快速衰減的函數，這樣原本不滿足絕對可積的函數就能夠滿足絕對可積的條件。

數學描述為：

拉普拉斯變換深入理解（拉普拉斯變換及Z變換的意義）1

其中e-at就是為了保證絕對可積而乘上的衰減函數。所以傅裡葉變換是拉普拉斯變換的特例，即傅裡葉變換是拉普拉斯變換在複平面實部等于0時的拉普拉斯變換。

下面我們以正弦信号為例，來說明正弦信号的拉普拉斯變換和傅裡葉變換的關系。當取拉普拉斯變換的實部為0時，可以畫出其結果就是正弦信号的傅裡葉變換。

拉普拉斯變換深入理解（拉普拉斯變換及Z變換的意義）2

例如信号x(t)=e-atu(t),那麼它的傅裡葉變換在a>0時收斂，或者說當a>0時，信号x(t)的傅裡葉變換才存在。

拉普拉斯變換深入理解（拉普拉斯變換及Z變換的意義）3

那麼其拉普拉斯變換如下所示：

拉普拉斯變換深入理解（拉普拉斯變換及Z變換的意義）4

于是可以得到信号x(t)的S變換如果存在需要：

拉普拉斯變換深入理解（拉普拉斯變換及Z變換的意義）5

從而正像傅裡葉變換不是對所有的信号都收斂一樣，拉普拉斯變換也可能隻對Re(a jw)的某些值收斂，其他情況下則不收斂。

注：通過信号傅裡葉變換分析我們知道，一個周期信号能夠表示成一系列正弦信号疊加而成。那麼一個信号的拉普拉斯變換就是在收斂域内疊加了一個衰減信号的正弦信号疊加合成。

Z變換

首先，一個離散信号的Z變換的定義為：

拉普拉斯變換深入理解（拉普拉斯變換及Z變換的意義）6

同樣離散傅裡葉變換和z變換之間也存在一些關系，現将複變量z用極坐标可以表示成：

拉普拉斯變換深入理解（拉普拉斯變換及Z變換的意義）7

其中r表示z的模，而用w表示其相位，故z變換還可以表示為：

拉普拉斯變換深入理解（拉普拉斯變換及Z變換的意義）8

故序列x[n]的z變換可以看出是信号x[n]r-n的傅裡葉變換，指數加權信号可以随n增加而增加或減小，這取決于r是否大于1。特别當r=1時，就是傅裡葉變換。

在z平面上，這個半徑為1的圓成為單位圓，這個單位圓非常類似于s平面上虛軸在拉普拉斯變換中所說的作用。

同樣為了使x[n]r-n的傅裡葉變換存在，也存在一個r值的區間，這個區間成為z變換的收斂域。

考慮一個序列x[n]=anu[n]，那麼其z變換為：

拉普拉斯變換深入理解（拉普拉斯變換及Z變換的意義）9

為了使x(z)收斂，就需要滿足：

拉普拉斯變換深入理解（拉普拉斯變換及Z變換的意義）10

得到|z| >|a|就是其收斂域。