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什麼樣的三角形角平分線交于一點
什麼樣的三角形角平分線交于一點
更新时间:2025-04-17 08:48:59

三角形三條角平分線一定交于一點嗎?如果交于一點,這個點叫做三角形的什麼點或者什麼心?

答案是,三角形三條角平分線一定交于一點,這個點叫做三角形的内心,即内接圓的圓心。

這個問題等價于:△ABC中,AD∠BAC的角平分線,BE∠ABC的角平分線,ADBE交于O。連接CO并延長與AB交于F。證明:CF∠ACB的角平分線。

什麼樣的三角形角平分線交于一點(為什麼三角形三條角平分線相交于一點)1

證明過程很簡單,因為角平分線和線段長度相關的隻有一個性質,那就是:“角平分線上的點到角的兩邊距離相等” !

證明:過O分别做BCABCA的垂線,垂足分别為P、Q、R

什麼樣的三角形角平分線交于一點(為什麼三角形三條角平分線相交于一點)2

因為AD∠BAC的角平分線,因此OQ=OR

因為BE∠ABC的角平分線,因此OP=OQ

于是有OP=OR,即CF∠ACB的角平分線。證畢。

如果以O為圓心,OP長度為半徑做圓,那麼該圓是三角形的内切圓。即三角形三條角平分線的交點是三角形的内心。

什麼樣的三角形角平分線交于一點(為什麼三角形三條角平分線相交于一點)3

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