本文結合數學史和人類文明史談數學的起源。

不同的民族都需要數字，需用數字來表達，在現實生活中常會涉及數字之間的數量關系。比如軍營裡面現有一個營的兵力，然後又有人來參軍，又來了一個營零一個連的兵力，那麼我們一共有多少兵力？這樣的數量關系怎麼描述呢？再比如現在軍營裡面有三個營的兵力，需要分出去兩個營給别人，怎麼分？于是現實生活中就産生了加法和減法。涉及要把一些東西和到一起測量總數的時候就産生了加法，涉及要從一個總的數字當中分一些東西出去，就産生了減法。在人類最早的文字記載中，加減運算是最早掌握的兩種數學運算。我國古代比較注重利用工具來做計算，用算籌或者算盤來做加減法，記錄時用的是文字表達。在現實當中因為有需求，才産生了各種各樣的運算。從根本上說，人類一般是不幹傻事的，總是産生對人類有用的東西。

算籌

有人問為什麼三加二等五，實際上這個問題沒有什麼好問為什麼的，這些關系就是确定的。如果探讨緣由的話，這不是純數學的推理能解釋的，而是一個哲學、曆史、社會學的問題。就是因為算術的結論是在人類幾百年、幾千年的社會實踐過程中積累、歸納、總結下來的，它們逐漸凝在人們意識中固定了下來，在符号的語言中固定了下來，以及在實際的應用中固定了下來。比如三個和兩個放在一塊就是五個，兩個和三個放在一塊也是五個（這最終還總結出了加法結合律），任何時候、任何地方都是這樣。當然現實中也有時候不是這樣，比如三升水和兩升酒精加在一起就不是五升，但是，數學的模型、數學的抽象舍棄了這些特殊的情況而抓一般的情況。當然，在現實應用中是需要認清前提的，否則會鬧出笑話。

那現實生活中為什麼要産生乘法呢？我們可以想一想，如果我們要一些東西加起來，比如3 3 3 3 3；使用加法很容易得到3 3 3 3 3=15，能得到對應的結果。假如有五十個“3”相加呢，那我們需要3 3 3 ……，這樣太麻煩了。為了簡化起見，人們用一種新的方式來表達它，也就是“5*3=15”。同理，除法是怎麼産生的呢？一個數按照相等的關系能減出來多少倍，比如十除以三等于三餘一，意思就是十按照三個等分這麼分的話，隻能分出三個等分來，最後剩下一等分。

加減乘除運算關系，都是小學最基本的東西。問題的根本在于是否知道它的來龍去脈，就是它到底是怎麼來的，到底是什麼意思。

我們講數學，講“數”，數最先産生的是自然數，就是“1、2、3、4、5、6、7、8……”，一直往下數下去就是自然數。而後又加入了“0”，“0”和那些自然數，形成了最初的整數的概念（注：負數産生後，整數的概念中又加入了負整數）。再後來又出現了分數的概念，甚至還出現了小數的概念。分數的概念很簡單，比如說媽媽烙了一個餅，家裡有三個孩子，于是把這個餅分成三份，然後分給每個孩子，這時候就需要表述：每個孩子吃了多少呢？哦！一個孩子吃了三分之一。媽媽一想，還得給你們爸爸留一份，拿刀在這個餅上切了個“十字”，分成了四塊。這時一塊餅就變成四份了。而後媽媽再一想，我自己還沒吃呢，就可以把這個餅分成五份。這裡就涉及三分之一，四分之一，五分之一。從這裡可以發現，一個整體要分成若幹份，我們原來了解的整數的概念随着生産生活的發展逐漸不夠用了，在進行測量、分物或計算時，往往不能正好得到整數的結果，于是就産生了分數的概念。

小數又是如何産生的呢？一些實用的計量單位多采用十進制計數法，由此也就産生了十進分數，也就是小數。小數的産生較負數晚，第一個将這一概念提出的是魏晉時代的劉徽，他在計算圓周率的過程中，用到了尺、寸、分、厘、毫、秒 、忽7個長度計量單位，對于忽以下的更小單位則不再命名，統稱為“微數”。在早期小數可視為是分數的一種變形的表達形式。有的是一種準确的表達，有的則是一種近似的表達。比如，當我們描述三分之一的時候，三分之一是一個準确的概念，而0.333333……不管後面有多少個3，都是不準确的。但不管怎麼說，我們現實生活中有了小數也行。比如說，分了一塊餅的三分之一，這個說法很準确；說分了0.3333塊餅，雖然有點近似，但是也能理解它的意思。因此小數也有小數的意義。于是我們的加減乘除運算，也可以把分數和小數加進去。

人們在生産生活實踐中，為了表示相反意義的量，如錢糧虧損、材料欠缺、負債等情況，将其用數學符号來表達，就産生了負數。在中國公元一世紀的《九章算術》中，就最早提出了正負數加減法的法則。整數、分數、小數，加上負數，就構成了我們今天所說的有理數。

九章算術

有了有理數，我們再看無理數。無理數的産生也是很早的，但它被人們真正接受卻是比較晚的。早在公元前470年左右的古希臘，畢達哥拉斯學派的學員希帕索斯發現邊長為1的正方形對角線長度不能用整數之比的形式來表達，打破了畢達哥拉斯學派“任何數都可以寫成兩個整數之比”的信條。這個長度的值其實就是後來說得無理數，然而希帕索斯本人卻因此被驚恐無比的畢達哥拉斯學派其他成員投入大海。随後，數學家們陷入了對這個問題的長期的争論中，這就是第一次數學危機。但是真理是掩蓋不了的，畢達哥拉斯學派抹殺真理才是“無理”，人們為了紀念希帕索斯，把這樣的量稱作“無理數”，無理數最終還是被人們認識到并且影響了随後整個數學的發展。

希帕索斯

在數的範圍在不斷擴展的同時，計算領域内也産生了很多新的運算。在計算體積的過程中産生了乘方的概念，如一個正方形加上一個高變成正方體，相同的量三次相乘，就構成了三次方。産生了乘方，自然，也就要産生與之相反的開方的概念。

随着我們現實中需要解決的數量關系越來越複雜，運算關系也變得越來越豐富，數的表現方式也變得越來越豐富。前面所說的有理數和無理數統稱為實數，後來又有了虛數的概念。與整數、分數等不同的是，虛數不是在自然科學或技術方面的推動下産生的，而是産生于數學本身内部産生的抽象的數學體系，但在後來也産生了極有價值的應用。

虛數究竟是如何産生的？在中學的教科書中，出于中學知識所限，将其解釋為為了讓方程x^2 1=0有解而引入了虛數i。但在曆史中，複數是在一些數學家求解三次方程的過程中，發現結果中會出現對負數的開方，于是這個時候提出了虛數。可以說，複數正是在代數方程的求解中産生的。在古希臘時期，丢番圖的《算數》中就已經記載了一元二次方程在時的情形，但當時丢番圖沒有考慮這種方程是否有解。直到16世紀，三、四次方程的求解中才出現了複數。意大利學者卡爾丹在塔塔利亞的基礎上推出了一般三次方程的解法。但在求解的過程中，出現了不可約的情形，這時負數會被開方。然而這是當時的歐洲人無法接受的，因為負數的出現本身就難以接受了（歐洲人為什麼難以接受負數，這也是一個與社會學文化學相關的有意思的問題），更别說給負數開方。之後，又有意大利數學家邦貝利引入了複數，但他本人覺得複數是神秘而無用的東西。法國數學家笛卡爾也将困惑數學家的“虛無缥缈”的東西命名為“虛數”。

但是在19世紀初，數學家給出了複數的幾何解釋。也就是用一個十字坐标，把一個稱之曰虛軸，一個稱之曰實軸，構成一個平面，實數和虛數走到一起構成了一個複數，寫成a bi的形式，而這個平面就是複平面（如下圖）。而這個和向量即既有大小又有方向的量就可以對應起來了。在此基礎上，将a、b換成變量x，y，并由此建立了複變函數。

後來人們又逐漸發現複數的理論體系在解決很多現實問題是很好的工具。在流體力學中，比如對于一條河流，中間有一根木頭擋住了一部分水流，那麼對于木頭兩側的水流，雖然距離很近，甚至可以忽略，但是兩邊水流的速率、方向卻相差非常大，必須要繞過木頭才能建立起相應的關系。把這個現象用一個模型來表達（如下圖），發現它和複平面上複變函數的性質非常相似。也就是，對于複平面上這樣一個區域，中間被部分隔斷，在被隔斷處兩側，雖然距離非常小，但是函數在這兩端的性質相差非常大。

因此，人們開始越來越相信複數的産生在數學中是有着非常重要的意義的。