第一單元 小數除法

1、除數是整數的小數除法計算法則：

除數是整數的小數除法，按照整數除法的法則去除，商的小數點要和被除數的小數點對齊;如果除到被除數的末尾仍有餘數，就在餘數後面添0再繼續除。

2、除數是小數的小數除法計算法則：

除數是小數的除法，先移動除數的小數點，使它變成整數;除數的小數點向右移動幾位，被除數的小數點也向右移動幾位(位數不夠的，在被除數末尾用0補足)，然後按照除數是整數的小數除法進行計算。

3、 在小數除法中的發現：

①當除數大于1時，商小于被除數。

如：3.5÷5=0.7

②當除數小于1時，商大于被除數。

如：3.5÷0.5=7

4、小數除法的驗算方法：

①商×除數=被除數(通用)

②被除數÷商=除數

5、商的近似數：

根據要求要保留的小數位數，決定商要除出幾位小數，再根據“四舍五入”法保留一定的小數位數，求出商的近似數。例如：要求保留一位小數的，商除到第二位小數可停下來;要求保留兩位小數的，商除到第三位小數停下來……如此類推。

6、循環小數問題：

A、小數部分的位數是有限的小數，叫做有限小數。如，0.37、1.4135等。

B、小數部分的位數是無限的小數，叫做無限小數。如5.3… 7.145145…等。

C、一個數的小數部分，從某位起，一個數字或者幾個數字依次不斷重複出現，這樣的小數叫做循環小數。(如5.3… 3.12323… 5.7171…)

D、一個循環小數的小數部分，依次不斷重複的數字，叫做小數的循環節。(如5.333… 的循環節是3， 4.6767…的循環節是67， 6.9258258…的循環節是258)

7、用簡便方法寫循環小數的方法：

隻寫一個循環節，并在這個循環節的首位和末位上面記一個小圓點。

隻有一個數字循環節的，就在這個數字上面記一個小圓點

有兩位小數循環的，就在這兩位數字上面，記上小圓點

有三位或以上小數循環的，在首位和末位記上小圓點

8、除法中的變化規律：

①商不變性質：被除數和除數同時擴大或縮小相同的倍數( 0除外)，商不變。

②除數不變，被除數擴大，商随着擴大。被除數不變，除數縮小，商擴大。

③被除數不變，除數縮小，商擴大。

第二單元 軸對稱和平移

軸對稱：

1.軸對稱圖形：如果一個圖形沿着一條直線對折，兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形，那條直線就叫做對稱軸。兩圖形重合時互相重合的點叫做對應點，也叫對稱點。

2.軸對稱圖形的性質：對應點到對稱軸的距離相等，對應點連線垂直于對稱軸。

3.軸對稱圖形具有對稱性。

4軸對稱圖形的法：

（1）找出所給圖形的關鍵點，如圖形的頂點、相交點、端點等；

（2）數出或量出圖形關鍵點到對稱軸的距離；

（3）在對稱軸的另一側找出關鍵點的對稱點；

（4）按照所給圖形的順序連接各點，就畫出所給圖形的軸對稱圖形。

平移：

1.平移的定義：在平面内，将一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。

2.平移的基本性質：

（1）平移不改變圖形的形狀和大小，隻改變圖形的位置。

（2）經過平移，對應線段，對應角分别相等；對應點所連的線段平行且相等。

3.平移圖形的畫法：

（1）确定平移的方向與距離。

（2）将關鍵點按所需方向平移所需距離。

（3）按原來圖形的連接方式依次連接各對應點并标上相應字母。

平移、對稱、旋轉。

1.運用旋轉設計圖案的方法：

（1）選好基本圖案；

（2）根據所選的基本圖案确定旋轉點；

（3）确定旋轉度數；

（4）依次沿每次旋轉後的基本圖形的邊緣畫圖。

2.運用對稱設計圖案的方法：

（1）先選好基本圖案；

（2）依據基本圖案的特點定好對稱軸；

（3）畫出基本圖形的對稱圖形

第三單元 倍數和因數

認識自然數和整數，聯系乘法認識倍數與因數。

像0，1，2，3，4，5，6，…這樣的數是自然數。

像-3，-2，-1，0，1，2，3，…這樣的數是整數。

我們隻在自然數（零除外）範圍内研究倍數和因數。

倍數與因數是相互依存的關系，要說清誰是誰的倍數，誰是誰的因數。

補充知識點：

一個數的倍數的個數是無限的。因數個數是有限的。

一個數最小的因數是1，最大的因數是它本身；

一個數最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數。

2，5的倍數的特征

2的倍數的特征：個位上是0，2，4，6，8的數是2的倍數。

5的倍數的特征：個位上是0或5的數是5的倍數。

偶數和奇數的定義：

是2的倍數的數叫偶數，不是2的倍數的數叫奇數。

能判斷一個數是不是2或5的倍數。能判斷一個非零自然數是奇數或偶數。

補充知識點：

既是2的倍數，又是5的倍數的特征：個位上是0的數既是2的倍數，又是5的倍數。

3的倍數的特征：一個數各個數位上的數字的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。

同時是2和3的倍數的特征：個位上的數是0，2，4，6，8，并且各個數位上的數字的和是3的倍數的數，既是2的倍數，又是3的倍數。

同時是3和5的倍數的特征：個位上的數是0或5，并且各個數位上的數字的和是3的倍數的數，既是3的倍數，又是5的倍數。

同時是2，3和5的倍數的特征：個位上的數是0，并且各個數位上的數字的和是3的倍數的數，既是2和5的倍數，又是3的倍數。

6的倍數的特征：既是2的倍數又是3的倍數的數。

9的倍數的特征：一個數各個數位上的數字的和是9的倍數，這個數就是9的倍數。

找因數

在1～100的自然數中，找出某個自然數的所有因數。方法：運用乘法算式，思考：哪兩個數相乘等于這個自然數。

補充知識點：

一個數的因數的個數是有限的。其中最小的因數是1，最大的因數是它本身。

找質數

理解質數與合數的意義。

一個數隻有1和它本身兩個因數，這個數叫作質數。

一個數除了1和它本身以外還有别的因數，這個數叫作合數。

1既不是質數也不是合數。

判斷一個數是質數還是合數的方法：

一般來說，首先可以用“2，5，3的倍數的特征”判斷這個數是否有因數2，5，3；如果還無法判斷，則可以用7，11等比較小的質數去試除，看有沒有因數7，11等。隻要找到一個1和它本身以外的因數，就能肯定這個數是合數。如果除了1和它本身找不到其他因數，這個數就是質數。

數的奇偶性

運用“列表”“畫示意圖”等方法發現規律：

小船最初在南岸，從南岸駛向北岸，再從北岸駛回南岸，不斷往返。通過“列表”“畫示意圖”的方法會發現“奇數次在北岸，偶數次在南岸”的規律。

能夠運用上面發現的數的奇偶性解決生活中的一些簡單問題。

通過計算發現奇數、偶數相加奇偶性變化的規律：

偶數＋偶數=偶數 奇數＋奇數=偶數

偶數＋奇數=奇數 偶數－偶數=偶數

奇數－奇數=偶數 偶數－奇數=奇數

奇數－偶數=奇數 偶數 × 偶數=偶數

偶數 × 奇數=偶數 奇數 × 奇數=奇數

第四單元 多邊形面積

比較圖形的面積

借助方格紙，能直接判斷圖形面積的大小。

平面圖形面積大小的比較有多種方法：

根據圖形面積的大小，可以直接進行比較；可以借助參照物進行比較；可以運用重疊的方法進行比較；借助方格，利用數方格的的方法進行比較；直接計算面積後再進行比較等。

圖形面積相同，其形狀可以是不同的。

補充知識點：

确定一個圖形面積的大小，不僅是根據圖形的形狀，更重要的是根據圖形所占格子的多少來确定。

地毯上的圖形面積

根據地毯上所給圖案探求不規則圖案面積的計算方法。

直接通過數方格的方法，得出答案的面積。

将圖案進行“化整為零”式的計算，即根據圖案的特點，将整體的圖案分割為若幹個相同面積的小圖案，通過求小圖案的面積，得出整個圖案的面積。

采用“大面積減小面積”的方法，即通過計算相關圖形的面積，得到所求的面積。

補充知識點：

在解決問題時，策略和方法是多種多樣的。

動手做

認識平行四邊形、三角形與梯形的底和高。

從平行四邊形一邊的某一點到對邊畫垂直線段，這條垂直線段就是平行四邊形的高，這條對邊是平行四邊形的底。

三角形的一個頂點到對邊的垂直線段是三角形的高，這條對邊是三角形的底。

從梯形的兩條平行線中的一條上的某一點到對邊畫垂直線段，這條垂直線段就是梯形的高，這條對邊就是梯形的底。

高和底的關系是對應的。

用三角闆畫出平行四邊形的高的方法：

把三角闆的一條直角邊與平行四邊形的一條邊重合，讓三角闆的另一條直角邊過對邊的某一點。

從這一點沿着三角闆的另一條直角邊向它的對邊畫垂線，這條垂線（從點到垂足）就是平行四邊形一條邊上的高。

注意：從一條邊上的任意一點可以向它的對邊畫高，也可以從另一條邊上的任意一點向它的對邊畫高。

用三角闆畫出三角形的高的方法：

把三角闆的一條直角邊對準三角形的一個頂點，另一條直角邊與這個頂點的對邊重合。

從這個頂點沿着三角闆的另一條直角邊向它的對邊畫垂線，這條垂線（從頂點到垂足）就是三角形形一條邊上的高。

用三角闆畫梯形的高的方法：

用同樣的方法，畫出梯形兩條平行線之間的垂直線段，就是梯形的高。

平行四邊形的面積

平行四邊形的面積=拼成的長方形的面積

長方形的長就是平行四邊形的底；長方形的寬就是平行四邊形的高。

因此：平行四邊形面積=底×高

如果用S表示平行四邊形的面積，用a和h分别表示平行四邊形的底和高，那麼，平行四邊形的面積公式可以寫成：

S=ah

運用平行四邊形的面積計算公式計算相關圖形的面積并解決一些實際問題。

補充知識點：

當平行四邊形的底和高相同時，其面積也是相同的。

三角形的面積

三角形面積=兩個相同三角形拼成的平行四邊形的面積÷2

三角形的底和高，也就是平行四邊形的底和高。

因此：

三角形面積

=平行四邊形的面積÷2

=底×高÷2

如果用S表示三角形的面積，用a和h分别表示三角形的底和高，那麼，三角形的面積公式可以寫成：

S=ah÷2

運用三角形的面積公式，計算相關圖形的面積，解決實際問題。

補充知識點：

決定三角形面積的大小的因素不是圖形的形狀，而是三角形的底與高的長度，隻要底和高相同，不同形狀的三角形的面積也是相同的。

梯形的面積

梯形面積=兩個相同梯形拼成的平行四邊形的面積÷2

梯形的上底與下底的和就是平行四邊形的底，梯形的高就是平行四邊形的高。

因此：

梯形面積

=平行四邊形面積÷2

=底×高÷2

=（上底 下底）×高÷2

如果用S表示梯形的面積，用a和b分别表示梯形的上底和下底，用h表示梯形的高，那麼，梯形的面積公式可以寫成：

S=(a b)h÷2

運用梯形面積的計算公式，解決相應的實際問題。

補充知識點：

決定梯形面積的大小的因素不是圖形的形狀，而是梯形的上、下底之和與高的長度，隻要上下底的和與高相同，不同形狀的梯形的面積也是相同的。

第五單元 分數的意義

分數的再認識

在具體情境中，進一步認識分數。分數對應的“整體”不同，分數所表示的部分的大小或具體數量也不一樣，也就是分數具有相對性。

真分數與假分數

理解真分數、假分數、帶分數的意義。

像1/2、1/4、2/3、3/4，…這樣的分數叫作真分數。特點：分子都比分母小；分數值小于1。

像 3/2、3/3、5/4、9/4，…這樣的分數叫作假分數。特點：分子比分母大，或者分子與分母相等；分數值大于或等于1。

像

，

這樣的分數叫作帶分數。特點：由整數和真分數兩部分組成的；分數值大于1。

帶分數的讀法：

讀作：二又四分之一。

★補充知識點：

分子是分母倍數的假分數可以化成整數。

分子不是分母倍數的假分數可以化成帶分數。

分數與除法

理解分數與除法的關系：被除數÷除數=

（除數不為0）。

分數的分母不能是0。因為在除法中，0不能做除數，因此根據分數與除法的關系，分數中的分母相當于除法中的除數，所以分母也不能是0。

運用分數與除法的關系解決實際問題。用分數來表示兩數相除的商。

根據分數與除法的關系把假分數化成帶分數的方法：

用分子除以分母，把所得的商寫在帶分數的整數位置上，餘數寫在分數部分的分子上，仍用原來的分母作分母。

把帶分數化成假分數的方法：

将整數與分母相乘的積加上原來的分子作分子，分母不變。

分數基本性質

理解分數的基本性質：

分數的分子和分母都乘或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。

聯系分數與除法的關系以及“商不變”的規律，來理解分數的基本性質。

分子相當于被除數，分母相當于除數，被除數和除數同時乘或除以相同的數（0除外），商不變。因此分數的分子和分母都乘或除以相同的數（0除外），分數的大小也是不變的。

運用分數的基本性質，把一個分數化成指定分母（或分子）而大小不變的分數。

找最大公因數

理解公因數和最大公因數的意義。

幾個數公有的因數是這幾個數的公因數，其中最大的一個是它們的最大公因數。

找兩個數的公因數和最大公因數的方法：

1、列舉法：運用找因數的方法先分别找到兩個數各自的因數，再找出兩個數的因數中相同的因數，這些數就是兩個數的公因數；再看看公因數中最大的是幾，這個數就是兩個數的最大公因數。

補充知識點：

其他找最大公因數的方法：

2、找兩個數的公因數和最大公因數，可以先找出兩個數中較小的數的因數，再看看這些因數中有哪些也是較大的數的因數，那麼這些數就是這兩個數的公因數。其中最大的就是這兩個數的最大公因數。

例如：找15和50的公因數和最大公因數：

可以先找出15的因數：1，3，5，15。再判斷4個數中，哪幾個也是50的因數，隻有1和5，1和5就是15和50的公因數。5就是它們的最大公因數。

3、如果兩個數是不同的質數，那麼這兩個數的公因數隻有1。

4、如果兩個數是連續的自然數（0除外），那麼這兩個數的公因數隻有1。

5、如果兩個數具有倍數關系，那麼較小的數就是這兩個數的最大公因數。

6、短除法

偶數與所有奇數的最大公因數是1；一個數與它的的倍數的最大公因數是它本身。

約分

理解約分的含義：

把一個分數的分子、分母同時除以公因數，分數的值不變，這個過程叫做約分。

理解最簡分數的含義：

像1/3這樣分子、分母公因數隻有1了，不能再約分了，這樣的分數是最簡分數。

掌握約分的方法：

約分的方法一般有兩種，一種是用兩個數的公因數一個一個去除，另一種是直接用兩個數的最大公因數去除。

補充知識點：

比較分數大小時，分母相同的、分子相同的可以直接比較，有些時候分子分母都不相同可以采用約分後進行比較的方法。例如：○

找最小公倍數

理解公倍數和最小公倍數的含義。

兩個數公有的倍數叫做這兩個數的公倍數，其中最小的一個，叫做最小公倍數。

找兩個數的公倍數和最小公倍數的方法：

1、先找出兩個數各自的倍數（限制一定的範圍内），再找出公有的倍數，找出兩個數公有的倍數，看看這些公倍數中最小的是幾，這個數就是兩個數的最小公倍數。

兩個數公倍數的個數是無限的，因此隻有最小公倍數沒有最大的公倍數。

補充知識點：

其他找公倍數和最小公倍數的方法：

2、找兩個數的公倍數和最小公倍數，可以先找出兩個數中較大的數的倍數（限制一定的範圍内），再看看這些倍數中有哪些也是較小的數的倍數，那麼這些數就是這兩個數的公倍數。其中最小的就是這兩個數的最小公倍數。

例如：找6和9的公倍數和最小公倍數。（50以内）可以先找出9的倍數（50以内）有：9，18，27，36，45，再從這些數中找出6的倍數18，36，18和36就是6和9的公倍數，18是最小公倍數。

3、如果兩個數是不同的質數，那麼這兩個數的最小公倍數是兩個數的乘積。

4、如果兩個數是連續的自然數（0除外），那麼這兩個數的最小公倍數是兩個數的乘積。

5、如果兩個數具有倍數關系，那麼較大的數就是這兩個數的最小公倍數。

6、短除法求最小公倍數

分數的大小

理解通分的含義：

把分母不相同的分數化成和原來分數相等、并且分母相同的分數，這個過程叫作通分。

★通分的兩個要點：和原來分數相等；分母相同。

■分數大小比較：

同分母分數相比較，分子越大分數越大。

同分子分數相比較，分母越小分數越大。

分子分母都不相同的分數相比較的方法：

用通分的方法把分母不相同的分數化成和原來分數相等、并且分母相同的分數，再比較大小。（把兩個分數化成分子相同的分數，再比較大小）

補充知識點：

通分一般以最小公倍數作分母。

第六單元 組合圖形的面積

組合圖形面積

了解組合圖形：

有幾個簡單的圖形拼出來的圖形，我們把它們叫做組合圖形。

計算組合圖形的面積的方法是多種多樣的。一般運用的方法是“分割法”和“添補法”。

分割法，即将這個圖形分割成幾個基本的圖形。分割圖形越簡潔，其解題的方法也将越簡單，同時又要考慮分割的圖形與所給條件的關系。

添補法，即通過補上一個簡單的圖形，使整個圖形變成一個大的規則圖形。

運用所學的知識，解決生活中組合圖形的實際問題。

能正确估計不規則圖形面積的大小。

能用數格子的方法，計算不規則圖形的面積。

估計、計算不規則圖形面積的内容主要是以方格圖作為北京進行估計與計算的，所以借助方格圖能幫助建立估計與計算不規則圖形面積的方法。

雞兔同籠

知識點：借助“雞兔同籠”這個載體經曆列表、嘗試和不斷調整的過程，從中體會出解決問題的一般策略—列表。

點陣中的規律

知識點：能在觀察活動中，發現點陣中隐含的規律，體會到圖形與數的聯系。

在“點陣中的規律”的活動中，通過觀察前後圖形中點的變化規律，推理出後續圖形中點的數量。

第七單元 可能性

摸球遊戲（用分數表示可能性的大小）

知識點：用分數表示可能性的大小。

客觀事件中，“不可能”出現的現象用數據表示為“可能性是0”，客觀事件中，“一定能”出現的現象用數據表示為“可能性是1”，當可能性是相等的時候，用數據表述是“1/2”。

逐步體會到數據表示的簡潔性與客觀性。

知識點：運用分數表示可能性的大小，能自主地設計一些活動方案。

對實際生活中的事件與現象，能運用可能性的知識進行合理的解釋。