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等腰直角三角形的存在性問題
等腰直角三角形的存在性問題
更新时间:2025-04-04 10:11:28

等腰直角三角形由于其特殊性,含45度角,直角邊與斜邊的根号2倍關系,又具有圖形的對稱美感,經常用來做題的母闆圖形。通過一些旋轉變換添加的輔助線,使得圖形變得有深度,結合所給條件思考起來,充分展示了幾何圖形的内在聯系。

已知:如圖,在等腰直角三角形ABC中,點D是三角形内一點,且AD=AC,CD=根号2倍BD,點O是AB的中點。求證:角CDO=90度。

等腰直角三角形的存在性問題(等腰直角三角形裡的幾何證明思考)1

要證角CDO是90度,結合圖形,即是證明角ADC與ADO之和是90度。由AD=AC,在三角形内,等邊對等角,知道角ADC=角ACD,所給三角形ABC是等腰直角三角形,即角ACD與BCD之和是90度。很自然就轉化為求角ADO與角BCD的相等。

等腰直角三角形的存在性問題(等腰直角三角形裡的幾何證明思考)2

由條件CD=根号2倍BD出發,聯想到等腰直角三角形邊的倍數關系性質,依靠線段BD構造等腰直角三角形BDE,不難得到角ABD與角CBE相等。而由AD/AB=AO/AD,公共夾角DAB,得到三角形ADO與ABD相似,所以角ADO=角ABD。

關鍵到這裡,角CBE與角BCD相等的證明如何做到呢?

三角形ABC中,AB=AC,角BAC=90度,D是AC邊外一點,E在AC上,角BDE=45度,F是CD的中點,AF交BD于點G。求證:EG垂直于BD。

等腰直角三角形的存在性問題(等腰直角三角形裡的幾何證明思考)3

又是等腰直角三角形ABC,點D在邊AC外,通過幾何畫闆的操作,知道D點也是有範圍限制的。要證EG垂直于BD,就是要證明角DGE是90度,從而知道又是個等腰直角三角形DGE。

等腰直角三角形的存在性問題(等腰直角三角形裡的幾何證明思考)4

F是CD的中點,利用三角形中位線定理,在線段GB上截取GH=DG,再來利用得到的AF平行于HC,知道角FAC與角ACH相等。到這裡,還是一團漿糊,怎麼辦呢?

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