閉區間内連續函數一定有最大值-tft每日頭條

工程問題上，研究連續函數的性質是十分重要的。它可以幫我們在一個可以接受的範圍内，給出高次方程的近似解。所以讓我們來研究它吧！我盡量圖解來提高閱讀體驗。

既然都說了是研究閉區間上連續函數的性質，那以下性質一定離不開這兩個條件了：閉區間 和連續函數

一.最值定理（了解）

内容：若函數F(x)在閉區間[a,b]上連續，則F(x)在[a,b]上一定能取得最大最小值

思考：為什麼要閉區間和連續函數這兩個條件？

我們分開讨論一下吧！

1.為什麼要非得閉區間這個條件不可？

那好我改成開區間，會怎樣呢？

閉區間内連續函數一定有最大值（圖解閉區間上連續函數的性質）1

M為函數在（a,b)的最大值，b1為最小值

假如是開區間，像如圖這種情況就取不到最小值了！

2.為什麼要非得要連續函數這個條件不可?

我舉個例子你就懂了

閉區間内連續函數一定有最大值（圖解閉區間上連續函數的性質）2

看~像這種在一定區間有間斷點的函數（不連續），就沒最大小值。

二.零點定理（重要）

内容：函數F(x)在閉區間[a,b]上連續，且F(a)*F(b)<0，則至少存在一點δ∈(a,b)，使得f(δ)=0。

閉區間内連續函數一定有最大值（圖解閉區間上連續函數的性質）3

為什麼說至少存在一點δ∈(a,b)，使得f(δ)=0呢？

畫個圖就很清晰了。

閉區間内連續函數一定有最大值（圖解閉區間上連續函數的性質）4

由圖可以看出它是可以存在多個零點的，所以說它至少存在一點δ∈(a,b)，使得f(δ)=0。

應用：二分法求解高次方程的近似解（一個無限逼近正确解的過程）。

5次及5次以上方程沒有根式解（阿貝爾證明過），在工程問題上一般用二分法求解方程的近似解。

三.介值定理（由零點定理基礎上推導而來）

内容：設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且f(a)不等于f(b),則在f(a)與f(b)之間的任意一個常數C，至少存在一點δ∈(a,b)，使得f(δ)=C。

如圖表達：

閉區間内連續函數一定有最大值（圖解閉區間上連續函數的性質）5

為什麼說介值定理是由零點定理基礎上推導而來呢？

我們來利用零點定理一遍：

我們構造一個輔助函數F(x)=f(x)-C

為什麼這麼構造？

我給個圖，直觀感受這個變化：

閉區間内連續函數一定有最大值（圖解閉區間上連續函數的性質）6

左圖為f(x)圖，右圖為F(x)=f(x)-C圖

這就可以把它轉成能用零點定理處理的函數了。

由f(x)在[a,b]上連續，且C在f(a)與f(b)之間，則F(x)在[a,b]上連續，F(a)*F(b)<0

用F(x)=f(x)-C做一下替換就得：[f(a)-c]*[f(b)-c]<0.由零點定理可知，至少存在一點δ∈(a,b)，使得F(δ)=0，f(δ)-C=0，即f(δ)=C。

好了，謝謝大家的認真閱讀[笑]