解直角三角形是銳角三角函數知識的延伸與升華，是對直角三角形三邊之間的關系、兩銳角之間的關系，以及邊角之間關系的系統梳理與靈活應用；同時，解直角三角形也是解決測量等方面問題的重要手段之一.事實上，無論多複雜的解直角三角形問題，最終都可以歸結為對直角三角形除直角外的五個基本元素(三邊和兩銳角)之間關系的探究.本文撷取幾例，談談解直角三角形的基本策略.

一、有“弦”用“弦”

例1 如圖1，在Rt⊿ABC中，∠C=90°,斜邊c=8,∠B=60°，求直角邊b的長.

解析： 已知條件中給出斜邊(即“弦”)c和銳角B，求∠B的對邊b，故應使用∠B的正弦.

由sinB=b/c，得b=c×sinB=8×sin60°

評注：當已知直角三角形的一銳角和斜邊(弦)，求此銳角的對邊(或鄰邊)，或已知一銳角及其對邊(或鄰邊)，求斜邊(弦)時，應選用已知銳角的正弦(或餘弦)關系式求解.即所謂有“弦”用“弦”.

二、無“弦”用“切”

例2 如圖2，在Rt⊿ABC中，∠C=90°，a=30,∠B=30°,，求直角邊b的長.

評注：當已知條件中未給出斜邊(弦)，也不需要求斜邊(弦)，即條件和結論僅與兩直角邊(勾、股)有關，而與斜邊(弦)無關時，應選用已知銳角的正切(或餘切)關系式求解.即所謂無“弦”用“切”.

三、甯“乘”毋“除”

例3　某條道路上通行車輛限速為60千米/時，在離道路50米的點P處建一個監測點，道路AB段為檢測區(如圖3).在⊿ABP中，已知∠PAB=29°,∠PBA=45°，一輛轎車通過AB段的時間為8. 2秒，請判斷該車是否超速？

(參考數據：tan29°≈0.5543,tan61°≈1.8040,60千米/時=50/3米/秒)

評注 ：本例在求AC的長度時，采取将PC與∠APC相乘的方法，計算簡單不易失誤.其實，在求的AC長度時，亦可由tan∠APC=PC/AC,得AC=PC/tan∠APC=50/tan29°≈50/0.5543≈90.2(米).顯然，與将PC和tan∠APC相乘求AC相比，若采用将PC與tan∠PAC相除的方法，計算既繁瑣且易出錯.故在解直角三角形時，在保證計算結果盡可能精确的前提下，如果既可以采取“相乘”，也可以采用“相除”的方法求直角三角形某條邊的長度，一般應遵循甯“乘”毋“除”的原則.當然，某些隻能采取“相除”的方法來解決的問題例外，見下例.

例4 如圖4，在Rt⊿ABC中，∠C=90°,直角邊a=20,∠A=53°，求斜邊c (結果保留整數).(參考數據：sin53°≈0. 7986 ， cos53°≈0. 6018 ， tan53°≈1. 3270 )

解析： 解答此例，求斜邊，顯然隻能采取“相除”的方法.

四、化“斜”為“直”

當已知條件為斜三角形的邊和角時，往往需要通過适當添加輔助線構造出直角三角形，進而轉化為解直角三角形的問題，上述例3即為此類題.茲再舉一例.

例5 如圖5，某直升機于空中A處測得正前方地面控制點C的俯角為30°;若航向不變，直升機繼續向前飛行1000m至B處，測得地面控制點C的俯角為45°?求直升機再向前飛行多遠，與地面控制點C的距離最近(結果保留根号).

評注： 例3和例5是化“斜”為“直”的兩個常見題型，可分别稱為“求和”型、“求差”型.雖然化“斜”為“直”還有其他一些不同的變式，但與例3、例5相比，解題基本思路和方法并無二緻，可謂萬變不離其宗.

五、取“原”避“中”

例6 如圖6，在Rt⊿ABC中，∠C=90°,斜邊c=80，∠B=64°，求直角邊a和b的長(精确到0.01).(參考數據：sin64°≈0. 8988 ，cos64°≈0. 4384 ， tan64°≈2. 0503)

評注 ：上述解題過程中，在求出a的值以後，若由tanB=b/a，可得b=a×tanB=35.072×tan64°≈35.072×2.0503≈71.91.顯然，這與析解中使用關系式“sinB=b/c”求得的b的值略有差異.其原因在于，借助“tanB=b/a”求b，此關系式中的a是中間數據，非原始數據，而析解中求b的值時所選數據均為原始數據，避開中間數據，所求結果無疑更為精确.此例告訴我們，在解直角三角形時，如果既可使用原始數據，也可使用中間數據，要盡量使用原始數據；即做到取“原”避“中”.

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