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有理數為什麼是循環小數
有理數為什麼是循環小數
更新时间:2024-12-22 01:09:53

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傳播數學幹貨,學會理性的方式去思考問題

為什麼有理數一定能表示為一個有限小數或無限循環小數,以及怎麼把一個無限循環小數化為它的既約分數形式?

不知道如何證明如果有理數化成小數形式如果是無限小數,那麼它一定是循環的。碰到 0.168831 168831 168831... 怎麼知道它作為分數是什麼?

一、問題重述

要證明:有理數=有限小數 無限循環小數,咱們首先來做幾個說明:

有理數又稱為比例數,因此有理數和分子分母是整數的分數是等價的。每個有理數都有一個既約分數和它對應,既約分數是指分子和分母不僅是整數,而且二者的最大公約數是1。

有限小數是有理數一定正确。

我們可以把需要證明的有理數的範圍縮小到(0, 1)之間,如果在這個範圍内結論成立,那麼推廣到全部有理數上結論也成立。

無限循環小數是形如

有理數為什麼是循環小數(為什麼有理數一定能表示為一個有限小數或無限循環小數)1

的小數,其中前面的m個小數位

有理數為什麼是循環小數(為什麼有理數一定能表示為一個有限小數或無限循環小數)2

沒有循環,循環節是

有理數為什麼是循環小數(為什麼有理數一定能表示為一個有限小數或無限循環小數)3

為了證明題目,需要證明下面兩個結論

  1. 無限循環小數一定是有理數。

  2. 有理數一定是有限小數或者無限循環小數。

二、證明無限循環小數一定是有理數

首先我們任取一個無限循環小數

有理數為什麼是循環小數(為什麼有理數一定能表示為一個有限小數或無限循環小數)4

,從它開始循環的地方切一刀,把前面和後面的部分分開:

有理數為什麼是循環小數(為什麼有理數一定能表示為一個有限小數或無限循環小數)5

因為分數/有理數的四則運算還是分數/有理數,所以為證明q是有理數,隻需要證明

有理數為什麼是循環小數(為什麼有理數一定能表示為一個有限小數或無限循環小數)6

可以寫成分數的形式。

我們把循環節提出來,把 再分解一次:

有理數為什麼是循環小數(為什麼有理數一定能表示為一個有限小數或無限循環小數)7

後面的無限循環小數的循環節是連着k-1個是0,然後跟一個1,恰好滿足:

有理數為什麼是循環小數(為什麼有理數一定能表示為一個有限小數或無限循環小數)8

原因是:

有理數為什麼是循環小數(為什麼有理數一定能表示為一個有限小數或無限循環小數)9

因此我們得到:

有理數為什麼是循環小數(為什麼有理數一定能表示為一個有限小數或無限循環小數)10

這樣就證明了 是有理數。

三、證明有理數一定是有限小數或者無限循環小數

我們随便拿來一個既約真分數

有理數為什麼是循環小數(為什麼有理數一定能表示為一個有限小數或無限循環小數)11

。也就是分子分母互質,并且值在(0,1)之間的分數。我們要證明它一定是有限小數或者無限循環小數。

思路:

因為由上面的分析我們知道

有理數為什麼是循環小數(為什麼有理數一定能表示為一個有限小數或無限循環小數)12

是循環節為c的循環小數,我們首先試探任意有理數是否一定存在循環小數的相等形式:

有理數為什麼是循環小數(為什麼有理數一定能表示為一個有限小數或無限循環小數)13

(這個等式不一定成立,但是可以啟發我們)。假設這個等式成立,則:

交叉相乘,得到

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。因為a、b互質,為了能讓等式成立,就必須使b是

有理數為什麼是循環小數(為什麼有理數一定能表示為一個有限小數或無限循環小數)15

的約數。因此,隻要是某個連續若幹個9組成的整數的約數,那麼上面那個式子就一定成立。因此,我們需要嘗試找一個整數n,滿足b能整除 。這啟發我們構造一個特殊的數列。

構造:

對任意,我們定義一個數

有理數為什麼是循環小數(為什麼有理數一定能表示為一個有限小數或無限循環小數)16

為連續m個9組成的整數除以b的餘數:

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,如果有一個

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,那麼咱們的目的就達到了。

同餘除法有一點點複雜,經過一定計算我們可以得到一個遞推公式:

有理數為什麼是循環小數(為什麼有理數一定能表示為一個有限小數或無限循環小數)19

有理數為什麼是循環小數(為什麼有理數一定能表示為一個有限小數或無限循環小數)20

繼續推導可以得到一個一般遞推公式:

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因為一個數除以b的餘數隻能是0到b-1之間的b個整數,一共隻b種可能,因此不斷把k增大,一定有某兩個f的值相同了。咱們不妨就假設

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,這說明:

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因此是

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的約數。

雖然這并不能說能整除其中一個(除非是素數),但是可以說能分解成兩部分,各整除其中一部分:我們令

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,滿足

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整除

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,整除

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。前者可得整數 滿足

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;對于後者,我們首先由

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的定義得知

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,其中

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是某個整數,從而兩邊加1得

有理數為什麼是循環小數(為什麼有理數一定能表示為一個有限小數或無限循環小數)34

,進而由 既整除 又整除 得到 能夠整除

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,得知存在另一個整數

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滿足

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因此我們得到:

有理數為什麼是循環小數(為什麼有理數一定能表示為一個有限小數或無限循環小數)38

咱們令

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則可以得到:

有理數為什麼是循環小數(為什麼有理數一定能表示為一個有限小數或無限循環小數)40

和上一節的結論一比較,就可以知道這一定是一個有限小數或循環小數之。由于分數a、b的選擇是任意的,證明完畢。

via:王小龍(知乎)

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有理數為什麼是循環小數(為什麼有理數一定能表示為一個有限小數或無限循環小數)41

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