文、編輯 | 雲雀兒

來源 | 布谷聽聽（iBookgood）

天天練算數，沒完沒了地加減乘除和綜合運算，孩子是不是看到數字就有點怕怕了？

這可不行，而且誰說數學就是天天隻能算數的無聊學科？

要知道，數學上有幾個數學分支是完全不用數字的。以拓撲學為例，這就是一門非常有趣的學科，它是專門研究物體形狀的一門數學。

可能有的家長會不了解，到底什麼才是拓撲學呢？

拓撲學是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的學科，它隻考慮物體間的位置關系而不考慮它們的形狀和大小。在拓撲學裡，重要的拓撲性質包括連通性與緊緻性。

看起來有點複雜，實際上拓撲學對于大家來講并不陌生，大家都玩過迷宮遊戲和拼七巧闆吧，這些都是拓撲學研究的範圍。

今天，咱們就讓孩子放松放松，抛開數字和計算，一起到數學的天地中遊玩，感受一下數學真正的魅力吧！

一、莫比烏斯環

上圖這樣扭曲的圈圈，在拓撲學上叫莫比烏斯環。孩子看了可能會覺得，這不就是個擰巴的圈嘛，不過别小看它，這裡面可是會出現很多神奇的現象的。

和孩子動起手來，感受一下吧。

操作過程：

用剪刀剪出一張5厘米寬的紙條，把紙條的一邊翻個面，然後和另一邊粘在一起，形成一個扭曲的紙圈。沿着5厘米寬的紙圈的中心線把紙圈剪開，你能剪出兩個紙圈嗎？

這是怎麼回事?

肯定的剪不出來的！因為剪完一圈，你會發現紙圈還是一個，不過比原紙圈長了一倍。

莫比烏斯環有一個奇妙的特點，它隻有一個面，也就是沒有正反面。這是千真萬确的，不信你在做出來的紙圈上，用鉛筆畫一圈線，你會發現鉛筆劃過整個紙圈後，又回到了它原來的出發點。

莫比烏斯環在生活和生産中已經有了一些用途。例如，用皮帶傳送的動力機械的皮帶就可以做成莫比烏斯環狀，這樣皮帶可以磨損的面積就變大了。如果把錄音機的磁帶做成莫比烏斯環，就不存在正反兩面的問題了，磁帶就隻有一個面了。

你可以和孩子這樣做：

除了像我們說的在中間剪開，你也可以嘗試和孩子從三分之一處剪開，這樣剪的結果會是一個比原紙圈長一倍的紙圈和一個與原紙圈同樣大的紙圈套在一起。當然了，光想是想象不出來的，趕緊動手和孩子見證一下神奇吧。

除此之外，也可以和孩子思考一下我們吃的麻花是不是莫比烏斯環呢？先猜想一下，然後一起買一根麻花實驗一下吧。還可以和孩子想想有沒有在生活中見到過莫比烏斯環，都在哪裡見過，總結一下。

二、雙人脫困

我們總是看到電視劇中，好人會被壞人綁架，繩子打着結，讓人想跑也跑不了。不過，當我們的手被綁住的時候，我們就真的解不開了嗎？

操作過程：

像圖中這樣，如果不解開手腕上的繩結，不破壞、不剪斷繩子的情況下，他們能不能脫困呢？我們能不能想出辦法将這一對男女分開呢？

和孩子一起動手操作試試看吧！

這是怎麼回事?

想要解開繩子，我們就要利用到拓撲變形啦！

如圖所示人質A用雙手抓住自己的繩子使繩子在人質B的另一側形成一個松弛的繩圈，然後A把繩圈塞進同伴手腕上的套索中。

可以發現，要使繩圈不扭曲隻能穿過一隻手腕然後A把繩圈繞過B的手指。

當A把繩圈繞過B的手并從套索中拉出後，他們就自由了。

你可以和孩子這樣做：

還有很多利用拓撲變形解繩子的題目，和孩子一起去多試驗多嘗試吧。

除此之外，也要記得和孩子講清楚，雖然我們現在是在玩遊戲，我們可以挑戰自己，嘗試解開。但是如果真正遇到壞人的時候，千萬不要妄圖展現自己的解繩能力，應該大聲呼救，見機逃跑才對。

三、無法兌現的遺囑

不論是樂高還是七巧闆，這些圖形有關的遊戲都深受孩子們喜愛。在這些遊戲中，孩子會增強幾何知識，加深對圖形的認識。相比被限定了的數字和計算方法，這些遊戲更能激發孩子的想象力和思維能力。

那麼接下來，我們就要介紹一個經典的難題啦，這個難題，需要孩子充分發揮他們的幾何思維和圖形分割能力。

操作過程：

題目是這樣的，一個農民有五個兒子，他去世前，留下遺囑，要兒子們按以下要求分配土地：

• 每個兒子必須同時與其他四個兒子為鄰。
• 任何兩個兒子的土地，必須至少有一條共同界線，而不能隻是一個點。
• 每個兒子的土地必須是一整塊。

帶孩子一起畫圖試試，看看這個分配是可能實現的嗎？

這是怎麼回事?

實際上，要同時做到以上幾點是不可能的。

這個難題是一百多年前由德國拓撲學家費地南德•莫比烏斯設計出來的，當然，上面說到過的莫比烏斯環，就是以他的名字命名的。

莫比烏斯發現五個圖形，無論形狀和大小如何，不可能同時有共同邊界。多少年來，許多數學家尋求解答這個問題，但此難題還是無解。所以人們又把這道難題叫做“無法兌現的遺囑”。

你可以和孩子這樣做：

其實這個拓撲學上的難題也有它特殊的用途哦，繪制地圖的人隻要用四種顔色，就能把各種不同的地區分别開來，因為最多隻有四個地區可以同時擁有一條共同邊界。這就是所謂的“四色猜想”，這個猜想在1976年已由電子計算機作出證明。

你可以打印一張沒有顔色的地圖，試試和孩子一起用彩筆，用四色把地圖區分開。和孩子分析的時候，一定要動手畫圖，這樣才能讓孩子更充分理解，更有畫面感。

四、七橋問題

很多孩子在走路的時候，會有一套他自己走路的路線，有的孩子喜歡沿着路邊的白線走，有的孩子一定要沒腳都踩在路上的花紋，有的孩子專往高處走，走到頭了才肯跳下來走平地。這些路線對孩子來說是他們創造力的展現，是專屬于自己的個性。

接下來，就有一個關于路線的問題等着孩子們，和孩子一起看看，這段路該怎麼走吧。

操作過程：

在18世紀，東普魯士哥尼斯堡(今屬立陶宛共和國)有一條大河，河中有兩個小島。全城被大河分割成四塊陸地，河上架有七座橋，把四塊陸地聯系起來。

當時許多市民都在思索一個問題：一個散步者能否從某一陸地出發，不重複地經過每座橋一次，最後回到原來的出發地。

這就是曆史上有名的哥尼斯堡七橋問題。

這個問題似乎不難解決，所以吸引了許多人來嘗試，但是日複一日誰也沒有得出肯定的答案。

這是怎麼回事?

1736年當時著名的數學家歐拉證明了，這是不可能實現的。

我們把走路的路線想象成畫一個一筆畫，除了起點和終點之外，我們把其餘的點稱為中間點。

對于每一個中間點來說，當畫筆沿某條線到達這一點時，必定要沿另一條線離開這點，并且進入這點幾次，就要離開這點幾次，一進一出，兩兩配對，所以從這點發出的線必然要是偶數條。因此，一個圖形能否一筆畫就有了一個判别規則:

一個可以一筆畫的圖形最多隻能有兩個點(起點和終點)與奇數條線相連。

根據判别規則，這七橋路線是不能一筆畫的，從而證明了七橋問題所要求的走法是不存在的。

你可以和孩子這樣做：

既然提到了一筆畫，那就動手畫起來吧，家長可以把小時候學會的一筆畫先展示給孩子，孩子學會後，就可以讓他發揮自己的想象力去随便畫，試試一筆能畫出什麼東西來。

最開始可能孩子還畫不出什麼東西，家長可以根據孩子的想法進行适當地指導。總之，放手讓孩子畫就對了。

五、會擁抱的曲别針

很多時候，我們覺得數學和我們生活相關的部分就是算個賬，記個數，其實不是的，隻要你有心，數學并不是隻存在與紙面上的，接下來，我們就要用拓撲學原理，展現一個神奇的小魔術。

操作過程：

拿一張鈔票大小的紙和兩枚曲别針，把紙卷成S形。用曲别針短的那一頭别住兩層紙，再用另一枚曲别針按同樣的方法别住紙的另一頭。

準備好了之後，兩手分别抓住卷成S形的紙的兩頭，迅速把紙拉直，兩枚曲别針就會飛到空中自動勾在一起。

這是怎麼回事?

雖然最開始紙上的兩枚曲别針并沒有挨着，但紙拉直後它們都奇妙地勾在一起了。

這個現象在拓撲學上叫做曲線轉移。原先那張紙疊成的弧形，被拉直時，轉移到曲别針上了。

你可以和孩子這樣做：

如果孩子想把曲别針勾在一起的秘密弄個明白，你可以慢慢地把那張紙拉直，多看幾次，就能看出其中的奧妙啦。

也可以讓孩子在小夥伴面前表演，不過記得動作要連貫、要快，因為慢慢拉有時也能讓曲别針勾在一起。但是有時也可能勾不在一起。

其實，當我們剛接觸拓撲學的時候，可能會覺得各種術語，一眼看去高深莫測，不接地氣，讓人想退縮。然而很多看起來晦澀的名詞，其實并沒有那麼難以琢磨，有些是非常形象，非常有趣味性的。

拓撲學的體系，有很大一部分是獨立于其他數學分支的，不需要其他課程的鋪墊，也能梳理清楚。孩子們從日常的動手動腦開始，就可以有很好的理解。

在孩子逐步走入高年級的時候，許多奧數題也會應用到拓撲學知識，從小培養孩子這種思維和意識，當他真正面對那些奧數難題的時候，他會覺得毫無畏懼，充滿親切感和趣味性。

幾何學家丘成桐也說過：幾何的直覺是需要積累的。

所以家長們，行動起來吧！盡早幫孩子建立幾何直覺，讓孩子未來的數學學習減少負擔吧。