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實數集的有界性證明
實數集的有界性證明
更新时间:2025-04-04 16:21:34

我們現在所說的實數,就是包括有理數和無理數的數集。曆史上無理數的發現甚至引發了第一次數學危機。實數系的連續性是很重要的結論,是分析學的基礎,實數系R的連續性,從幾何上理解,就是實數全體布滿整個數軸沒有“空隙”,我們知道知道有理數是不連續的,比如√2是有理數系的一個“空隙”。

确界存在定理、單調有界數列收斂定理、閉區間套定理、有界數列必有收斂子數列定理、柯西收斂原理,這五大定理其實是完全等價的,任意一個都可以作為實數系基本定理。

現在用小數的形式表示實數,來證明實數是連續的。關于有理數不連續的證明,也就是有理數集确界不存在的證明,放在上面的視頻中。

首先補充一個确界的概念。

實數集的有界性證明(用确界存在證明實數是連續的)1

實數集的有界性證明(用确界存在證明實數是連續的)2

實數集的有界性證明(用确界存在證明實數是連續的)3

實數集的有界性證明(用确界存在證明實數是連續的)4

實數集的有界性證明(用确界存在證明實數是連續的)5

實數集的有界性證明(用确界存在證明實數是連續的)6

實數集的有界性證明(用确界存在證明實數是連續的)7

實數集的有界性證明(用确界存在證明實數是連續的)8

實數集的有界性證明(用确界存在證明實數是連續的)9

實數集的有界性證明(用确界存在證明實數是連續的)10

數學分析建立在數列極限上,而極限又是用ε-N 語言描述的,所以ε-N語言是聯系數學分析和初等數學的橋梁。

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