我們現在所說的實數，就是包括有理數和無理數的數集。曆史上無理數的發現甚至引發了第一次數學危機。實數系的連續性是很重要的結論，是分析學的基礎，實數系R的連續性，從幾何上理解，就是實數全體布滿整個數軸沒有“空隙”，我們知道知道有理數是不連續的，比如√2是有理數系的一個“空隙”。
确界存在定理、單調有界數列收斂定理、閉區間套定理、有界數列必有收斂子數列定理、柯西收斂原理，這五大定理其實是完全等價的，任意一個都可以作為實數系基本定理。
現在用小數的形式表示實數，來證明實數是連續的。關于有理數不連續的證明，也就是有理數集确界不存在的證明，放在上面的視頻中。
首先補充一個确界的概念。
數學分析建立在數列極限上，而極限又是用ε-N 語言描述的，所以ε-N語言是聯系數學分析和初等數學的橋梁。
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