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無理數如何用字母表示
無理數如何用字母表示
更新时间:2025-04-04 19:34:15

我們知道無理數都是無限不循環小數,不過神奇的是任何二次無理數都會以周期鍊的形式出現,也就是可以用循環連分數的方法表示,并且在18世紀,大數學家拉格朗日對這個給出了證明。

下面,我們用和來舉例,看看如何用連分數的方法表示它們。

一、的連分數表示方法以及計算

1、的連分數表示方法:

①因為,我們可以設。

②于是:

③可得:。

④步驟3中等式右側分母中的又可以用步驟3等式右側部分表示,

⑤于是:

⑥将這一過程無限進行下去,可得:

⑦于是像這種無限不循環的無理數,就可以表示為部分商是循環的分數。

2、的計算:

同時,這種連分數也便于我們手動計算無理數的數值,我們可以通過舍棄一部分分母的内容來不斷精确計算,下面讓我們來看看計算方法:

①如果舍棄上述等式右側分母中的一部分,于是可得:

②如果舍棄上述等式右側分母右側一部分,于是:

③再舍棄上述等式右側分母右側一部分,于是:

④接下來再舍棄上述等式右側分母右側一部分,于是:

⑤再舍棄上述等式右側分母右側一部分,于是:

⑥一直重複的話,精度就會越來越高。

二、的連分數表示方法以及計算

1、的連分數表示方法:

①因為,我們可以設。

②于是:

③可得:。

④步驟3中等式右側分母中的又可以用步驟3等式右側部分表示,

⑤于是:

⑥将這一過程無限進行下去,可得:

⑦于是像這種無限不循環的無理數,就可以表示為部分商是循環的分數。

2、的計算:

同時,這種連分數也便于我們手動計算無理數的數值,我們可以通過舍棄一部分分母的内容來不斷精确計算,下面讓我們來看看計算方法:

①如果舍棄上述等式右側分母中的一部分,于是可得:

②如果舍棄上述等式右側分母右側一部分,于是:

③再舍棄上述等式右側分母右側一部分,于是:

④接下來再舍棄上述等式右側分母右側一部分,于是:

⑤再舍棄上述等式右側分母右側一部分,于是:

⑥一直重複的話,精度就會越來越高。

好了,這一講就到這裡了。

我是一個緻力于科普數學、物理的科技媒體。想了解更多相關的知識,歡迎關注我的微信公衆号科學發現之曆程,期待你的到來。

無理數如何用字母表示(無理數的連分數表示方法)1

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