如何用環的理論解決著名的二平方和問題-tft每日頭條

二平方和問題是個古老的問題，早在三世紀末，丢番圖就已經在研究哪些自然數能夠表示成二平方數之和，但很長時間，人們的研究停留在算術階段，直到費馬提出形如4n 1的素數可表示成兩平方數之和，這個問題的研究開始清晰起來，最後由歐拉将這個問題完全解決。用費馬命名的定理我們聽過不少，前面證明過數論中的費馬小定理，是歐拉定理的特殊情況，還有非常著名的費馬大定理，直到不久前1994年才被懷爾斯證明。二平方和問題又叫做費馬二平方和問題，它比費馬小定理要困難，主要思路是将自然數分解成素數的積，問題簡化成研究素數是否可表示成兩平方數之和，而全部的素數可以按照模4的同餘分類。

二平方和問題與高斯整數環有關。後面我會循序漸進介紹環的理論，這一期主要給出幾種整環的定義，以及用環的性質解決二平方和的問題，至于歐氏整環，主理想環環、唯一因子分解整環之間的關系，待以後講解了環的理論之後再給出證明。

如何用環的理論解決著名的二平方和問題（如何用環的理論解決著名的二平方和問題）1

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容易看出這正是整數的性質，所以整數環Z是歐氏整環。PID,UFD,ED之間是由關系的，那就是每個ED都是PID，每個PID都是UFD。

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于是高斯整數環也是唯一因子分解整環。有了這個結論，再去解決二平方和問題，就更簡單了。在歐拉的年代，并沒有發展出環的理論，所以歐拉需要用初等數論的方法證明高斯整數環因子分解的存在性和唯一性，而用環的理論，證明了它是歐氏整環，就間接證明了它具有分解的存在性和唯一性。接下來通過下面3個定理解決二平方和問題。

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