長方體的教材定義是“由6個長方形圍成的立體圖形”，表面簡單，實則難懂。長方體的本原定義是來自《幾何原本》與《九章算術》。通過長方形異面垂直平移，并将平移軌迹保留，形成長方體，這是長方體形成的本原。但這樣的本原性問題，對于小學生來說，不僅難以理解，更難以解釋。我們要做的是追尋這樣的本原思想，并不是解釋本原，而是經曆本原。一張A4紙可以理解為一個面，100張A4紙放在一起就形成一個長方體（圖—1）。這種動态的認識長方體，

有助于學生其後理解長方體的體積公式，并為柱體體積（底面積×高）的學習做好鋪墊。

（圖—1）

“柱體的體積＝底面積×高”如何理解呢？根據柱體形成的本原，柱體是由圓移動留下的軌迹形成的圖形，軌迹的長短用“高”來表示，通俗點說“底面積×高”就表示柱體中到底有多少個面。柱體的大小與底面大小有關，與柱體包含多少個底面有關。底面積表征底面大小，至于有多少個底面，數不過來，可以用高度來表征底面數量。

長方體的體積計算公式的本原可以從兩個方面來分析。

從幾何的角度看，人們有兩種方式表征體積：一是用長、寬、高來表征體積；二是用長方體的一個面以及垂直于這個面的一條棱來表征體積。從第一種表征方式出發“長方體的體積=長×寬×高”；從第二種表征方式出發“長方體的體積=底面積×高”。為什麼有了“長方體的體積=長×寬×高”還要有“長方體的體積=底面積×高”？這是幾何體統一的需要，後者是更廣泛的“柱體”的體積計算公式，不特指長方體。

從代數的角度看，在體積出現之前有了“立方數”，就是三個相同的數或量的積可表示為這個數或量的立方。随着幾何與代數的結合，人們賦予體積一些代數性質，用立方數表示體積，于是有了“長×寬×高=體積”。古埃及人在四千年前得到的體積計算公式是“V=h/3（a²＋ab＋b²）”,和現在的計算公式雖然差距很大，但體積的計算結果卻很相近。可以看出古埃及人使用長、寬、高表征體積，他們的體積計算突出的是一種“均衡”和“對稱”，他們求出的長方體的體積其實是三個體積的平均數。這也從另一個角度說明金字塔的設計及相關計算是古埃及人的智慧。

在推導長方體的體積公式時有這樣的糾結，“長×寬”求的是底面積還是一層體積單位的數量。如果從測量的角度來看，“長×寬”求的是一層體積單位的數量。如果從體的概念來看，“長×寬”求的是底面積。首先明确一個概念，什麼是體，（《幾何原本》）由面的概念可知體的概念，“體是面的均勻分布”。那麼從這個角度來看“長×寬”，表示面積是肯定的。面是有邊界無厚度的東西，多少個面壓在一起也不會構成體。這似乎是個悖論，但這個悖論存在于成人，兒童并不認為這是個什麼難懂的問題，因為“長×寬=底面積”，“等量傳遞”在這裡幫助兒童理解了這個問題。他們也許隻想到“體積=底面積×高”比“體積=長×寬×高”要省事一些。前面提到“糾結”，老師糾結于“面的疊加會是體嗎？”我們到什麼時候也不要忘記數學是抽象的科學，其思想是博大的，如果我們從“極限方法”與“不可分量方法”去考慮，就非常有道理了。我們能理解“化圓為方”、“ 化曲為直”，就應該能理解“化無為有”。想一想，我們在研究面的時候，你可曾向學生展示過“數學意義”上的面？我們在課堂上研究的大多數幾何圖形不就是在“化無為有”嗎？

回到上面的話題，面積能表示小方塊的數量嗎？能，這就是數學的抽象性，是幾何與代數的完美結合，每個面上都承載着一個“體”。對于學生來說他能明白嗎？“過度講解”就不會明白，古語講“過猶不及”，對于二者的聯系學生隻需體驗到“體積單位的數量與長、寬、高的乘積等值就可以”，計算長、寬、高的乘積就相當于求體積單位的數量。有些問題不必深究，到了第三學段，還要繼續研究。數學是嚴密的，而且是一種無懈可擊的嚴密。但是對于小學生來說，體驗數學的嚴密性有個過程，在小學我們要把握嚴密性的“度”，不要為了嚴密而嚴密，我們的責任是帶領學生探尋數學産生的本原，讓學生在體驗、經曆的過程中喜歡數學。

在體積計算中涉及兩個過程的體驗，就是體積測量與體積表征的問題。我認為前者應該讓學生詳細體驗，而後者可以通過“合情推理”的方式讓學生建立“底面積×高”與體積之間的聯系，通俗點講，就是讓學生感覺有道理即可。