孿生素數研究進展?素數分布之道(原創彭秋年)關鍵詞:能量參照法、素數分布新論.,下面我們就來聊聊關于孿生素數研究進展?接下來我們就一起去了解一下吧!
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孿生素數研究進展
素數分布之道(原創彭秋年)
關鍵詞:能量參照法、素數分布新論.
㈠、創建能量參照法生成素數分布新論.
首先陳述素數定理:如果以q表示自然數s範圍内的素數數量,則q=s/㏑s. (s較小時,用㏑s-1.08代替㏑s計算更精确)
當s足夠大時,顯然滿足:
(s/㏑s)/(1/㏑3 1/㏑4… 1/㏑s)→1.
如果集合X是集合N(N=全體自然數)的子集.且令:s範圍内,集合X中大于2的元素依次是x₁,x₂…xₙ;定義s範圍内集合X中元素的能量和為e=1/㏑x₁ 1/㏑x₂… 1/㏑xₙ.
則有:s範圍内,集合N中元素的能量和e、素數數量q均接近于s/㏑s,即q=e=s/㏑s.
以集合X={x|x=3a-2,(a∈N)}為例展開論述.
且令:集合X、N中與pᵢ互素的元素的分布比例分别為yᵢ、zᵢ. (i∈N,p₀=2,i>0時,pᵢ表示第i個奇素數)
則有:i=1時,y₁=1,z₁=2/3; i≠1時,yᵢ=zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ;集合X、N中與p₀p₁…pᵢ互素的元素的分布比例分别為y₀y₁…yᵢ、z₀z₁…zᵢ.
且令:rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).
則有:r₀=1;i>0時,rᵢ=1/(2/3)=3/2.
分析整理:s範圍内集合X中的元素相對于集合N中的元素成為素數的能力強度其參照值是r=3/2;簡述為集合X存在參照常數r=3/2.
且令:s範圍内集合X中元素的能量和為e.
則有:e=s/(3㏑s).
分析整理:s範圍内集合X中的素數數量q等于e、r的乘積,即q=er=s/(2㏑s).
綜上所述,以此類推:
且令:X={x|x=pa-y,(a∈N)}. (p為素數;y=1,2…p-1)
則有:p、y确定時,s範圍内集合X中素數數量分布的計算公式是q=er=s/[(p-1)㏑s].
且令:P={全體奇素數};P₀=P∩X.
則有:s範圍内集合P₀、P中元素數量分布之比為1/(p-1).
定義:使用能量和e與參照值r的概念對素數分布進行分析探讨的方法稱為能量參照法.
謹将素數定理與能量參照法結合生成素數分布新論如下:
如果集合X是集合N(N=全體自然數)的子集;集合X中與pᵢ、p₀p₁…pᵢ互素的元素的分布比例分别為yᵢ、y₀y₁…yᵢ. (i∈N)
且令:
zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ;rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).
如果存在n使得:i>n,所有的rᵢ都接近于r;則稱集合X存在參照常數r.
且令:s範圍内集合X中元素的能量和為e,素數元素的數量為q. (s足夠大)
則有:q=er.
㈡、探讨各種奇素數組合的分布狀态.
謹将奇素數組合分為兩種類型.
類型一、非動态素數鍊.
如果序列U={u₁,u₁ u₂,… u₁ u₂… uₙ}中的元素除以某個奇素數p,所得互異的正整數餘數為1,2…p-1.
(uᵢ為正偶數,i=1,2…n)
且令:序列A={a,a u₁,a u₁ u₂,… a u₁ u₂… uₙ}. (a為奇素數)
則有:序列A中至少有一個數能夠被p整除.
當序列A中的元素均為素數時,則稱其為加u₁加u₂…加uₙ型素數鍊(或非動态素數鍊).
序列A中的元素包含p時才有可能均為素數,使得序列A能夠包含p的a值數量有限.
因此,任一型号的非動态素數鍊數量有限.
類型二、動态素數鍊.
如果序列U={u₁,u₁ u₂,… u₁ u₂… uₙ}中的元素除以任意的素數p,所得互異的正整數餘數的數量少于p-1個.
(uᵢ為正偶數,i=1,2…n)
且令:序列A={a,a u₁,a u₁ u₂,… a u₁ u₂… uₙ}. (a為奇素數)
當序列A中的元素均為素數時,則稱其為加u₁加u₂…加uₙ型素數鍊(或動态素數鍊).
且令:a,a a₁,a a₂,…a aₙ₋₁均為素數. (2≤n<a,2≤a₁<a₂…<aₙ₋₁)
則有:a₁,a₂,…aₙ₋₁除以任意的素數p,所得互異的正整數餘數的數量少于p-1個.
故a,a a₁,a a₂,…a aₙ₋₁是動态素數鍊.
由此可知:任意n(n≥2)個互異且大于n的奇素數均可組成一條長度為n的動态素數鍊,幾乎所有的奇素數組合都屬于動态素數鍊.
接下來以序列A={5,7,11,13}為例探讨各種動态素數鍊的分布狀态.
序列A={5,7,11,13}中相鄰素數的間距依次是u₁=2,u₂=4,u₃=2.
且令:P={全體奇素數};
Qᵢ={x|x=a-2i,(a∈P)}. (i=1,2,3,4)
且令:Rᵢ=P∩Qᵢ;S₁=R₁∩R₃;
S₂=R₂∩R₃;S₃=R₁∩R₄;
S₄=R₃∩R₄;T=R₁∩R₃∩R₄.
則有:R₁={3,5,11…};R₂={3,7,13…};
R₃={5,7,11…};R₄={3,5,11…};
S₁={5,11,17…};S₂={7,13,37…};
S₃={3,5,11…};S₄={5,11,23…};
T={5,11,101…}.
[集合Rᵢ(i=1,2,3,4)分别由全體加2i型素數鍊的第一個元素組成;集合S₁、S₂、S₃、S₄分别由全體加2加4、加4加2、加2加6、加6加2型素數鍊的第一個元素組成;集合T由全體加2加4加2型素數鍊的第一個元素組成]
已知:s範圍内素數的分布密度是1/㏑s.
因此,s範圍内集合Qᵢ(i=1,2,3,4)中元素的分布密度同樣是1/㏑s.
又(s/㏑s)/(1/㏑3 1/㏑4… 1/㏑s)→1.
因此,s範圍内集合Qᵢ(i=1,2,3,4)中元素的能量和為e=(s/㏑s)(1/㏑s)=s/㏑²s.
已知集合Q₁={x|x=a-2,(a∈P)}={1,3,5…}.
且令:集合Q₁中與pᵢ互素的元素的分布比例為yᵢ. (i∈N)
則有:y₀=1;i>0時,yᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1).
且令:
zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ;rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).
則,
rᵢ={(1/2)(3/4)(5/6)…[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)]}/{(1/2)(2/3)(4/5)(6/7)…[(pᵢ-1)/pᵢ]}可化為式B與式B'如下:
式B、
rᵢ=[(3/4)(3/2)][(5/6)(5/4)]…{[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)][p₍ᵢ₋₁₎/(p₍ᵢ₋₁₎-1)]}[pᵢ/(pᵢ-1)].
式B'、
rᵢ=(3/2)[(3/4)(5/4)][(5/6)(7/6)]…{[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)][pᵢ/(pᵢ-1)]}.
式B中 pᵢ/(pᵢ-1)>1;
[(pₘ-2)/(pₘ-1)][pₘ₋₁/(pₘ₋₁-1)]>1.
(m=2,3…i)
因此,
rᵢ>[(3/4)(3/2)][(5/6)(5/4)]…{[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)][p₍ᵢ₋₁₎/(p₍ᵢ₋₁₎-1)]}.
式B'中 [(pₘ-2)/(pₘ-1)][pₘ/(pₘ-1)]<1. (m=2,3…i)
因此,rᵢ<(3/2)[(3/4)(5/4)][(5/6)(7/6)]…{[(p₍ᵢ₋₁₎-2)/(p₍ᵢ₋₁₎-1)][p₍ᵢ₋₁₎/(p₍ᵢ₋₁₎-1)]}.
經計算,rᵢ=2,1.5,1.406,1.367,1.354…
當i=253時,1.3196<rᵢ<1.3204;随着i的不斷增大,rᵢ→1.3203236…
因此,rᵢ→1.320(精确到千分位);即,集合Q₁存在參照常數r=1.32.
因此,s範圍内集合Q₁中素數數量分布的計算公式是q=er=1.32s/㏑²s.
同理可證:集合Q₂,Q₃,Q₄的參照常數依次是1.32,2.64,1.32.
因此,s範圍内加u(u=2,4,6,8)型素數鍊[集合Rᵢ(i=1,2,3,4)中元素]數量分布的計算公式依次是1.32s/㏑²s,1.32s/㏑²s,2.64s/㏑²s,1.32s/㏑²s.
且令:X={x|x=pa-y,(a∈N)};P₁=X∩R₁.
(p為素數,y∈N,0<y<p;p>2時,y≠2)
則有:p、y确定時,s範圍内集合P₁、R₁中的元素數量分布之比為1/(p-2).
(p=2時,用1代替p-2)
且令:
R₁'={x|x=a 6,(a∈R₁)}={9,11,17…}.
已知:s範圍内集合R₁中元素的分布密度是1.32/㏑²s. 因此,s範圍内集合R₁'中元素的分布密度同樣是1.32/㏑²s.
又(s/㏑s)/(1/㏑3 1/㏑4… 1/㏑s)→1.
因此,s範圍内集合R₁'中元素的能量和為e=(s/㏑s)(1.32/㏑²s)=1.32s/㏑³s.
且令:集合R₁'中與pᵢ互素的元素的分布比例為yᵢ. (i∈N)
則有:
y₀=1,y₁=1;i>1時,yᵢ=(pᵢ-3)/(pᵢ-2).
且令:
zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ;rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).
經計算,rᵢ→2.165(精确到千分位).
即,集合R₁'存在參照常數r=2.165.
因此,s範圍内集合R₁'中素數數量分布的計算公式是q=er=2.86s/㏑³s;即,s範圍内加2加4型素數鍊(集合S₁中元素)數量分布的計算公式是2.86s/㏑³s.
同理可證:s範圍内加4加2、加2加6、加6加2型素數鍊(集合S₂、S₃、S₄中元素)數量分布的計算公式都是2.86s/㏑³s.
且令:X={x|x=pa-y,(a∈N)};P₂=X∩S₁.
(p為素數,y∈N,0<y<p;p=3時,y≠2;p=5時,y≠1,2;p>5時,y≠2,6)
則有:p、y确定時,s範圍内集合P₂、S₁中的元素數量分布之比為1/(p-3).
(p=2,3時,用1代替p-3)
關于rᵢ的計算謹作論述C(标識C備用):
在計算rᵢ→1.32(n=1)及rᵢ→2.165(n=2)的過程中發現,n為任意正整數時,rᵢ={…[(pᵢ-n-1)/(pᵢ-n)]}/{(1/2)(2/3)(4/5)(6/7)…[(pᵢ-1)/pᵢ]}都能夠類似地化為兩個式子,且使得:一個式子裡面從某一項開始,後面連續相乘的各項均趨近1且不小于1;另一個式子裡面從某一項開始,後面連續相乘的各項均趨近1且不大于1.
因此,n為任意正整數,rᵢ都将趨近于常數.
且令:
S₁'={x|x=a 8,(a∈S₁)}={13,19,25…}.
經計算,集合S₁'存在參照常數r=1.451.
已知:s範圍内集合S₁中元素的分布密度是2.86/㏑³s. 因此,s範圍内集合S₁'中元素的分布密度同樣是2.86/㏑³s.
又(s/㏑s)/(1/㏑3 1/㏑4… 1/㏑s)→1.
因此,s範圍内集合S₁'中元素的能量和為 e=(s/㏑s)(2.86/㏑³s)=2.86s/㏑⁴s.
因此,s範圍内集合S₁'中素數數量分布的計算公式是q=er=4.15s/㏑⁴s;即,s範圍内加2加4加2型素數鍊(集合T中元素)數量分布的計算公式是4.15s/㏑⁴s.
且令:X={x|x=pa-y,(a∈N)};P₃=X∩T.
(p為素數,y∈N,0<y<p;p=3時,y≠2;p=5時,y≠1,2,3;p=7時,y≠1,2,6;p>7時,y≠2,6,8)
則有:p、y确定時,s範圍内集合P₃、T中的元素數量分布之比為1/(p-4).
(p=2,3時,用1代替p-4)
關于公式系數(例4.15)的計算謹作論述C':
且令:序列U={u₁,u₁ u₂,u₁ u₂ u₃}中的元素(即2,6,8)除以素數pₓ,所得互異的正整數餘數為tₓ個. (x=0,1…m)
且令:a=(p₀-t₀-1)(p₁-t₁-1)…(pₘ-tₘ-1); b=p₀p₁…pₘ;d=(p₀-1)(p₁-1)…(pₘ-1).
則有:m足夠大時,
ab³/d⁴=1.32*2.165*1.451=4.15.
綜上所述,以此類推:
如果序列U={u₁,u₁ u₂,… u₁ u₂… uₙ}中的元素除以任意的素數p,所得互異的正整數餘數的數量少于p-1個.
(uᵢ為正偶數,i=1,2…n)
則有:s範圍内加u₁加u₂…加uₙ型動态素數鍊數量分布的計算公式是q=er=cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.
(s較小時,用㏑s-1.08代替㏑s計算)
綜合論述C、C',系數cₙ的計算方法如下:
且令:序列U中的元素除以素數pₓ,所得互異的正整數餘數為tₓ個. (x=0,1…m)
且令:a=(p₀-t₀-1)(p₁-t₁-1)…(pₘ-tₘ-1);b=p₀p₁…pₘ;d=(p₀-1)(p₁-1)…(pₘ-1).
則有:m足夠大時,
cₙ=abⁿ/dⁿ⁺¹=n個常數之積=常數.
當㏑s>n 1時,cₙs/㏑ⁿ⁺¹s是一個增函數,其值域為無窮大;因此,加u₁加u₂…加uₙ型動态素數鍊存在無窮多條.
繼續探讨
經分析整理,n為正整數,可得以下結論:
1、s範圍内加2加4…加2n型動态素數鍊數量分布的計算公式是cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.
2、s範圍内連續n個加u型動态素數鍊數量分布的計算公式是cₙs/㏑ⁿ⁺¹s. (假設與偶數u互素的最小素數為p,n≤p-2)
3、s範圍内加u₁加u₂…加uₙ型動态素數鍊數量分布的計算公式是cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.
[uₐ=mᵃ(m-1),(m-1為正整數,a=1,2…n)]
4、假設區間[n,2n)(n>2)内存在t個素數,則該t個素數是一條長度為t的動态素數鍊;假設任意連續的n個自然數中,最長的動态素數鍊包含y個素數;n确定時,理論上能夠通過有限個步驟的計算得到确定的t、y(且t≤y).
5、如果素數鍊的第一個元素小于s,則定義該素數鍊在s範圍内;當n确定、s足夠大時,(n 1)s範圍内每s個連續的自然數中接近存在s/㏑s個素數;因此,s範圍内加u₁加u₂…加uₙ(uᵢ≤s,i=1,2…n)型動态素數鍊的數量總和接近于(s/㏑s)ⁿ⁺¹;因此,這些素數鍊數量分布的計算公式的系數總和接近于sⁿ.
[依據系數cₙ的取值規律同樣可證(略)]
關于動态素數鍊伸展性與對稱性的簡論.
且令:序列U={u₁,u₁ u₂,… u₁ u₂… uₙ}中的元素除以素數p,所得互異的正整數餘數為a個;序列V={mu₁,m(u₁ u₂),…m(u₁ u₂… uₙ)}. (n、m均為正整數)
則有:m被p整除時,序列V中的元素均被p整除;m與p互素時,序列V中的元素除以素數p,所得互異的正整數餘數同樣為a個.
且令:序列W={uₙ,uₙ uₙ₋₁,… uₙ uₙ₋₁… u₁};序列U中的元素除以素數p,所得餘數依次組成序列X={x₁,x₂,…xₙ};序列W中的元素除以素數p所得餘數依次組成序列K={k₁,k₂,…kₙ}.
則有:xₙ=kₙ;(xᵢ kₙ₋ᵢ)除以p得到餘數xₙ. (i=1,2…n-1)
因此,序列X、K中互異的正整數數量相等.
綜合而論,動态素數鍊存在以下基本性質:
任一型号的動态素數鍊在自然數中的分布具有無窮性、諧和性、伸展性、對稱性.
無窮性是指任一型号的動态素數鍊其數量都是無窮的.
諧和性是指任一型号的動态素數鍊都對應一個公式,其數量的分布狀态接近于該公式的增長趨勢. 同時存在更深層次的諧和性,且令全體加u₁加u₂…加uₙ型動态素數鍊的第一個元素組成集合P';u₁、u₁ u₂、… u₁ u₂… uₙ除以素數p所得餘數為bᵢ(i=1,2…n),存在k個正整數y滿足:y<p,y≠bᵢ;X={x|x=pa-y,(a∈N)};Pₙ=P'∩X;當p、y确定時,s範圍内集合Pₙ、P'中元素數量分布之比為1/k.
伸展性是指将任一型号的動态素數鍊其相鄰素數的間距統一放大到m(m為正整數)倍,即可得到m倍間距型号的動态素數鍊,s範圍内兩者數量分布之比為常數.
對稱性是指對于任一型号的動态素數鍊,都将存在與其相鄰素數的間距對稱的動态素數鍊,s範圍内兩者數量分布之比為1.
㈢、探讨偶數u的素數分解對的分布問題.
且令:u(u>1000)為偶數;√u範圍内存在m個奇素數;X={x|x=u-a,(a∈P,a<u)}.
且令:集合X中與pᵢ互素的元素的分布比例為yᵢ;zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ;rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ). (i=0,1…m)
則可推出rᵢ→r;u=2ⁿ(n∈N)時,r=1.32;u存在奇素因數d₁,d₂…dₓ時,
r=1.32[(d₁-1)(d₂-1)…(dₓ-1)]/[(d₁-2)(d₂-2)…(dₓ-2)].
每個偶數u都對應一個參照常數r.
經分析,s(s≤u/2,s的下限<<u/2)範圍内集合X中元素的分布密度是1/㏑u.
又(s/㏑s)/(1/㏑3 1/㏑4… 1/㏑s)→1.
因此,s範圍内集合X中元素的能量和為e=s/(㏑s㏑u).
因此,s範圍内使得a、u-a均為素數的a值數量分布的計算公式是q=er=rs/(㏑s㏑u).{偶數u>1000,s≤u/2,s的下限<<u/2;u=2ⁿ(n∈N)時,r=1.32;u存在奇素因數d₁,d₂…dₓ時,r=1.32[(d₁-1)(d₂-1)…(dₓ-1)]/[(d₁-2)(d₂-2)…(dₓ-2)]}
當s=u/2時,可得偶數u的素數分解對數量的計算公式是rs/(㏑s㏑u)≈ru/(2㏑²u).
(u較小時,用㏑u-1.08代替㏑u計算)
依據該公式判斷哥德巴赫猜想成立.
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