有趣的數學思維悖論?你的數學直覺怎麼樣？你能憑借直覺，迅速地判斷出誰的概率大，誰的概率小嗎？我們将連載這種反直覺的有趣數學問題如果你感興趣的話，你可以先試着用直覺來判斷，再詳細分析答案，看看你猜對了多少，下面我們就來聊聊關于有趣的數學思維悖論?接下來我們就一起去了解一下吧!

有趣的數學思維悖論

你的數學直覺怎麼樣？你能憑借直覺，迅速地判斷出誰的概率大，誰的概率小嗎？我們将連載這種反直覺的有趣數學問題。如果你感興趣的話，你可以先試着用直覺來判斷，再詳細分析答案，看看你猜對了多少。

終于到了最後一期啦，想了解往期題目的讀者，可以留意文末的彙總鍊接，也可以關注我們之後搜索曆史文章哦。我們來開始今天的題目：

24．一斤白酒下肚後，我醉醺醺地來到了懸崖邊上。如果我再往前邁一步，就會掉下懸崖。我每過一分鐘都會往前或者往後邁一步，每次有 1/3 的概率往前邁一步，有 2/3 的概率往後邁一步。假設懸崖邊是一條直線，我每步方向都嚴格垂直于懸崖邊，且步長保持一緻。如果我無限地走下去，那麼下面哪種情況的可能性更大一些？

A．我在有限步之後将會掉下懸崖B．我永遠不會掉下懸崖C．上述兩種情況的出現概率相同

注意到，這個問題是有意義的。我要麼在有限步之後掉下懸崖，要麼永遠不會掉下懸崖。我們的問題就是，究竟發生哪種情況的可能性更大。

實際上，這個題的答案也是 C 。不妨假設我在有限步之後将會掉下懸崖的概率為 p 。那麼， p 等于多少呢？如果我第一步就往前邁，那就直接掉下去了。這有 1/3 的概率。在另外 2/3 的情況下，我的第一步是往後邁的。如果我最後還是掉下懸崖了，那麼在此期間，我一定回過出發點。回到出發點，本質上就相當于往前淨走一步，這和從出發點出發最終掉下去了一樣，概率都是 p ；回到出發點後，要想真的掉下去，這又有一個 p 的概率。于是，我們得到：

p = 1/3 (2/3) · p2

解得 p = 1/2 或 p = 1 。舍去 p = 1 ，于是得到 p = 1/2 。這就說明， A 、 B 兩種情況的出現概率是相同的。

為什麼我們可以舍去 p = 1 呢？這裡，我們可以使用和上一題類似的思路。如果用 p0 代替題目中的 2/3 ，則上面的式子變為了：

p = (1 – p0) p0 · p2

解得 p = (1 – p0) / p0 或 p = 1 。為了保證連續性，當 p0 > 1/2 時，我們需要舍去 p = 1 。

你或許已經發現了，這一題和上一題非常相似。進一步考察兩個問題的答案，你還會有更驚人的發現：在有限步之後掉下懸崖的概率是 (1 – p0) / p0 ，因此永遠不會掉下懸崖的概率是 1 – (1 – p0) / p0 = (2 · p0 – 1) / p0 。這正是上一題中阿米巴原蟲無限繁殖下去的概率的表達式。

其實，這兩道題的本質就是完全一樣的。讓我們把阿米巴原蟲數量的變化想象成是數軸上不斷左右移動的點。剛開始，這個點在 x = 1 的位置。考慮某個阿米巴原蟲：如果它分裂了，那麼數軸上的點會向右移動一個單位，這有 2/3 的概率；如果它死亡了，那麼數軸上的點會向左移動一個單位，這有 1/3 的概率。上一題就相當于是問，數軸上的點更有可能會在有限步之後到達 x = 0 的位置，還是更有可能永遠都到不了 x = 0 的位置。如果你把數軸上的點左移右移想成是在懸崖外前進後退，把 x = 0 的位置想象成掉下懸崖的位置，這就瞬間變成這一題的背景了。

25．A 、 B 兩支球隊之間要打 100 場比賽。初始時，兩支球隊的經驗值都為 1 。在每一場比賽中，兩支球隊各自的獲勝概率與它們的經驗值成正比，随後獲勝一方的經驗值将會加 1 。那麼，當 100 場比賽全部打完之後，下面哪種情況的可能性更大一些？

A．球隊 A 在所有 100 場比賽中全部獲勝B．球隊 A 在所有 100 場比賽中恰好有 50 場獲勝C．上述兩種情況的出現概率相同

這是一個強者愈強，弱者愈弱的過程，因此其中一支球隊完勝另一支球隊的概率并不會太低，兩支球隊最終打成平手的概率也并不會太高。事實上，兩種情況發生的概率是相同的，都是 1/101 。也就是說，這個題目的答案是 C 。

讓我們把 A 、 B 兩支球隊打比賽的過程進一步抽象成下面這樣：從字符串 AB 出發，不斷選擇某個字母并把它分裂成兩個。也就是說，初始時的字符串為 AB ，每一次你需要随機選擇一個字母，如果選中了 A ，就把它變成 AA ，如果選中了 B ，就把它變成 BB 。第一次操作之後， AB 有可能變成 AAB ，也有可能變成 ABB ；如果第一次操作之後的結果是 AAB ，那麼第二次操作之後，結果就會概率均等地變成 AAAB 、 AAAB 和 AABB 之一。容易看出，字母 A 、 B 數量增加的模式，與原問題中 A 、 B 兩支球隊經驗值增加的模式是完全一緻的，因而我們要求的概率值就等價地變為了： 100 次操作之後，字符串變成 AAA…AAB 的概率是多少，字符串變成 AA…AABB…BB （兩種字母各半）的概率又是多少。下面我們來說明，這兩個概率值都是 1/101 。

先來看一個似乎與此無關的東西：把 0 到 100 之間的數随機排成一行的另類方法。首先，在紙上寫下數字 0 ；然後，把數字 1 寫在數字 0 的左邊或者右邊；然後，把數字 2 寫在最左邊，最右邊，或者 0 和 1 之間……總之，把數字 k 概率均等地放進由前面 k 個數産生的（包括最左端和最右端在内的）共 k 1 個空位中的一個。寫完 100 之後，我們就得到了所有數的一個随機排列。

現在，讓我們假設初始時的字符串是 A0B ，并且今後每次分裂時，都在分裂得到的兩個字母之間标注這是第幾次分裂。也就是說，下一步産生的字符串就是 A1A0B 或者 A0B1B 之一。如果下一步産生的字符串是 A1A0B ，那麼再下一步産生的字符串就會是 A2A1A0B 、 A1A2A0B 、 A1A0B2B 之一……聯想前面的讨論，你會發現，第 100 次操作結束後，所有數字實際上形成了一個 0 到 100 的随機排列，也就是說最開始的數字 0 最後出現在各個位置的概率是均等的。因此，最右邊那個位置上的數字就是 0 的概率是 1/101 ，正中間那個位置上的數字就是 0 的概率也是 1/101 。這其實就是我們要比較的那兩個概率值。

26．從全體正整數中随機選出兩個正整數，則下面哪種情況的可能性更大一些？

A．這兩個正整數互質（沒有大于 1 的公約數）B．這兩個正整數不互質（有大于 1 的公約數）C．上述兩種情況的出現概率相同

這個問題的說法很不嚴謹。我們給出一個更加嚴謹的叙述方法。讓我們用 PN 來表示，從 1 到 N 中随機取出兩個正整數，它們互質的概率是多少。我們的問題就是，當 N 趨于無窮時， PN的值究竟是大于 1/2 ，等于 1/2 ，還是小于 1/2 。

這是一個非常非常經典的問題。下面是最常見的一種解法。假設我們從全體正整數中随機選出了兩個正整數 a 、 b 。其中， a 能被 2 整除的概率是 1/2 ， b 能被 2 整除的概率是 1/2 。因而，它們都能被 2 整除的概率就是 1 / 22 。反過來，它們不都能被 2 整除的概率就是 1 – 1 / 22 。類似地，它們不都能被 3 整除的概率就是 1 – 1 / 32 ，它們不都能被 5 整除的概率就是 1 – 1 / 52 ……于是，它們互質的概率就是：

(1 – 1 / 22) · (1 – 1 / 32) · (1 – 1 / 52) · (1 – 1 / 72) …

注意，這裡用到了一個假設：如果 p 和 q 是兩個質數，那麼能否被 p 整除和能否被 q 整除，這是互相獨立的。事實上也确實如此：一個數能被 p 整除的概率是 1 / p ，一個數能被 q 整除的概率是 1 / q ；一個數能同時被兩個質數 p 和 q 整除，當且僅當它能被 p · q 整除，其概率是 1 / (p · q)。

為了求出上面這個式子的值，我們考慮它的倒數。 1 – 1 / 22 的倒數是 1 / (1 – 1 / 22) ，而由無窮等比級數的求和公式（見本文中的第 4 題），它又可以被我們寫成 1 1 / 22 1 / 24 1 / 26 … 。類似地，其他幾項也都變成了 1 1 / 32 1 / 34 1 / 36 … ，1 1 / 52 1 / 54 1 / 56 … ，等等。現在，想象一下，如果把所有的括号全都展開，把所有的項全都乘開來，會得到什麼？我們會既無遺漏又無重複地得到所有的 1 / n2 ！

(1 1 / 22 1 / 24 1 / 26 … ) · (1 1 / 32 1 / 34 1 / 36 … )· (1 1 / 52 1 / 54 1 / 56 … ) · …= 1 1 / 22 1 / 32 1 / 42 1 / 52 …

比方說， 40 = 2 × 2 × 2 × 5 ，那麼等式右邊的 1 / 402 這一項，就是由等式左邊的第一個括号裡的 1 / 26 ，乘以第二個括号裡的 1 ，乘以第三個括号裡的 1 / 52 ，乘以其餘所有括号裡的 1 得到的。

1 1 / 22 1 / 32 1 / 42 1 / 52 … 究竟等于多少呢？我們來證明，它小于 2 。這是因為：

1 1 / 22 1 / 32 1 / 42 1 / 52 …< 1 1 / (1 × 2) 1 / (2 × 3) 1 / (3 × 4) 1 / (4 × 5) …= 1 1 – 1/2 1/2 – 1/3 1/3 – 1/4 1/4 – 1/5 …= 2

别忘了， 1 1 / 22 1 / 32 1 / 42 1 / 52 … 是我們把所求的概率值取了倒數後的結果。因此，我們所求的概率值就應該大于 1/2 了。也就是說，這道題目的正确答案是 A 。

可以證明， 1 1 / 22 1 / 32 1 / 42 1 / 52 … 實際上等于 π2 / 6 。因此，任意兩個正整數互質的概率就是 6 / π2 ≈ 0.608 。神奇的數學常數 π 經常會出現在一些與圓形八竿子打不着的地方，比如我們之前提過的 Buffon 投針問題。而大家剛才看到互質概率問題，才是我覺得最為經典的例子之一。

今天的題目你答對了多少？連續十期的反直覺推理題已經結束了，如果回看的讀者可以收藏下面的鍊接，歡迎關注我們後續的文章哦

「數學思維訓練」反直覺的數學問題01 - 卡拉數學

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