高考解三角形試題及解析-tft每日頭條

這是2022年高考數學理科全國甲卷的填空壓軸題，是一道比較少見的解三角形還要結合求導的問題。我們一般解三角形的題目中很少出現需要求導的情況，反之求導問題多數與函數單調性有關，也比較少出現解三角形的情況。這道題很好地把兩者給結合在了一起。

已知△ABC中，點D在邊BC上，∠ADB=120度，AD=2，CD=2BD，當AC/AB取得最小值時，BD=_______.

分析：首先，要做一個草圖，否則很難明白題目在說什麼。這個圖非常簡單，但是往往越簡單的圖形，越不知道往哪裡入手。在經過多次快速嘗試錯誤之後，老黃才終于找到了它的突破口。

高考解三角形試題及解析（比較少見的解三角形結合求導問題）1

這道題的第一步要重複運用“餘弦定理”兩次。分别表示三角形ABC的兩條邊的平方，即：

AC^2=CD^2 AD^2-2CD·ADcos60度=4BD^2-4BD 4,

一方面角ADC=180度-角ADB=180度-120度=60度，因為兩個角是互為鄰補角。另一方面，把AC方轉換成關于BD的二次函數，下面同理：

AB^2=BD^2 AD^2-2BD·ADcos120度=BD^2 2BD 4,

以上是解三角形的部分。接下來想辦法把AC/AB轉換成關于BD的函數，就要進入求導的部分了。求兩者的比，得到AC^2/AB^2=4(BD^2-BD 1)/(BD^2 2BD 4)，顯然，隻要AC^2/AB^2最小，AC/AB就最小。所以我們隻要求AC^2/AB^2最小時的BD，就可以了。

為了讓大家(包括老黃)更适應，把上式轉化成：f(x)=(x2-x 1)/(x2 2x 4), 其中f(x)=AC^2/AB^2, x=BD. 現在就可以利用求導的方法，來求最小值點了。

即 f’(x)=3(x^2 2x-2)/(x^2 2x 4)^2，可以發現，函數f(x)有兩個極值點。做為一道填空題，我們不必把兩個極值都求出來，再比較大小，從而得到最小值。而是根據兩個極值點的符号性質就可以做出判斷。由于其中一個極值點是負數，而BD一定是正數，所以可以排除，從而隻剩下一個極值點，這個極值點就一定是最小值點。它就是x=根号3-1.

即當AC/AB取得最小值時，BD=根号3-1.

高考解三角形試題及解析（比較少見的解三角形結合求導問題）2

這樣的題目對大多數人來說，不算特别難（對老黃來說特别難，老黃隻是當了一回事後諸葛亮），但很有創新性。高考數學應該多出一些這樣的題。