你對正整數有感覺嗎？你喜歡哪個（些）正整數？你知道數論嗎？正整數優美嗎？

A. 完美數

無論是物質世界，還是精神世界，都離不開數學。最早悟出萬物背後都有數的法則在起作用的，是生活在公元前6世紀的古希臘數學家和哲學家畢達哥拉斯；而他及其學派無論在代數上還是幾何上都有很多貢獻。其中舉世聞名的"完美數"(perfect number，又稱"完全數"和"完滿數") 就是他們首先發現的。

法國數學家和哲學家笛卡爾曾公開預言："能找出完美數是不會多的，好比人類一樣，要找一個完美人亦非易事。"可見這種數既優美又稀少。

所謂完美數，就是"除其本身以外全部因數之和等于本身"的數。研究數字的先師畢達哥拉斯發現6的真因數1、2、3之和還等于6，他十分感興趣地說："6象征着完滿的婚姻以及健康和美麗，因為它的部分是完整的，并且其和等于自身。"

當除數可以整除被除數(意即被除數=除數*商)，則除數叫做被除數的因數。

素數就是質數。它除了能表示為它自己和1的乘積以外，不能表示為任何其它兩個整數的乘積。如6的所有真約數是1、2、3，而且6=1＋2＋3。像這樣，一個數所有真約數的和正好等于這個數，通常把這個數叫做完美數。任何一個自然數的約數中都有1和它本身,我們把小于它本身的因數叫做這個自然數的真約數。

完美數有多少? 隻發現20多個。例如6的因數位1,2,3，而6=1 2 3；28的因數為1,2,4,7,14，而 1 2 4 7 14；496的因數為1,2,4,8,18,31,62,124,248，而496=1 2 4 8 18 31 62 124 248。第四個完美數是8128（1000多年前）；具體探源如下：

古希臘哲學家柏拉圖在他的《共和國》一書中提出了完美數的概念。不過，有人認為或許印度人和希伯來人早就知道完美數的存在了。有些《聖經》注釋家認為6和28是上帝創造世界時所用的基本數字；他們指出，創造世界花了6天，28天則是月亮繞地球一周的天數。這使得完美數充滿了神秘的色彩，所以有些書籍稱之為"上帝之數"。

約公元前300年，幾何大師歐幾裡得在他的巨著《幾何原本》第九章最後一個命題首次給出了尋找完美數的方法，被譽為歐幾裡得定理："如果2n－1是一個素數，那麼自然數2n-1一定是一個完美數。"并給出了證明。

公元1世紀，畢達哥拉斯學派成員、古希臘著名數學家尼可馬修斯在他的數論專著《算術入門》一書中，正确地給出了6、28、496、8128這四個完美數，并且通俗地複述了歐幾裡得尋找完美數的定理及其證明。他還将自然數劃分為三類：富裕數、不足數和完美數，其意義分别是小于、大于和等于所有真因數之和。

1460年，還當人們迷惘之際，有人偶然發現在一位無名氏的手稿中，竟神秘地給出了第五個完美數33550336。這比起第四個完美數8128大了4000多倍。跨度如此之大，在計算落後的古代可想發現者之艱辛了，但是，手稿裡沒有說明他用什麼方法得到的，又沒有公布自己的姓名，這更使人迷惑不解了。

17世紀"神數術"大師龐格斯在一本洋洋700頁的巨著《數的玄學》中，一口氣列出了28個所謂"完美數"，他是在塔塔利亞給出的20個的基礎上補充了8個。可惜兩人都沒有給出證明和運算過程，後人發現其中有許多是錯誤的。

1603年，數學家克特迪曆盡艱辛，終于證明了無名氏手稿中第五個完美數是正确的，同時他還正确地發現了第六個和第七個完美數216(217-1)和218(219-1)，但他又錯誤地認為222(223-1)、228（229-1）和236（237-1）也是完美數。這三個數後來被大數學家費爾馬和歐拉否定了。

1644年，法國神甫兼大數學家梅森指出，龐格斯給出的28個"完美數"中，隻有8個是正确的，即當n＝2，3，5，7，13，17， 19， 31時，2n-1(2n-1)是完美數，同時又增加了 n＝67，127和257。

在未證明的情況下他武斷地說：當 n ≤ 257時，隻有這 11個完美數。這就是著名的"梅森猜測"。完美數有許多有趣的性質：

1. 它們都能寫成連續自然數之和：6=1 2 3, 28=1 2 3 4 5 6 7, 496=1 2 3 4 ...... 31, 8128=1 2 3 4 ...... 127

2.它們的尾數都是6或8。

3.它們的全部因數的倒數之和都是2。1/1 1/2 1/3 1/6=2 ； 1/1 1/2 1/4 1/7 1/(14) 1/(28)=2 ；/1 1/2 1/4 1/8 1/(16) 1/(31) 1/(62) 1/(124) 1/(248) 1/(496)=2 ；

物以稀為貴。雖然未找到實際中的特别用途，但完美數的奇異和美麗吸引了許多人

B. Mersen數

當n=2,3,5,7,13,17時，Cn确實是前六個完美數。

1730年，被稱為世界四大數學家雄獅之一的歐拉，時年23歲，正值風華茂盛。他出手不凡，給出了一個出色的定理："每一個偶完美數都是形如2n-1(2n-1)的自然數，其中n是素數，2n-1也是素數"，并給出了他一直沒有發表的證明。這是歐幾裡得定理的逆定理。有了歐幾裡得與歐拉兩個互逆定理，公式2n-1(2n-1)成為判斷一個偶數是不是完美數的充要條件了。

歐拉研究"梅森猜測"後指出："我冒險斷言：每一個小于50的素數，甚至小于100的素數使2n-1(2n-1)是完美數的僅有n取2，3，5，7，13，17，19，31，41，47，我從一個優美的定理出發得到了這些結果，我自信它們具有真實性。"

1772年，歐拉因過度拼命研究雙目已經失明了，但他仍未停止研究，他在緻瑞士數學家丹尼爾的一封信中說："我已經心算證明n＝31時，230(231-1)是第8個完美數。"同時，他發現他過去認為n=41和n＝47時是完美數是錯誤的。

形如2^p -1的正整數，其中p是素數，常記為Mp 。若Mp是素數，則稱為梅森素數。p＝2，3，5，7時，Mp都是素數，但M11＝2047＝23×89不是素數 。已發現的最大梅森素數是p＝24036583的情形，此時 Mp 是一個7235733位數。是否有無窮多個梅森素數是數論中未解決的難題之一。

為了激勵人們尋找梅森素數，設在美國的電子新領域基金會(EFF)曾向全世界宣布了為通過一個名為"因特網梅森素數大搜索"(GIMPS)項目來尋找梅森素數而設立的獎金。它規定向第一個找到超過1000萬位數的個人或機構頒發10萬美元。後面的獎金依次為：超過1億位數，15萬美元；超過10億位數，25萬美元。當然，絕大多數研究者參與該項目并不是為了金錢，而是出于興趣、榮譽感和探索精神。

美國加州大學洛杉矶分校的計算機專家史密斯通過參加GIMPS項目，于2008年8月23日找到了迄今已知的最大梅森素數2^43112609-1；該數也是目前已知的最大素數。這個素數有12978189位；如果用普通字号(4号)将它連續打下來，其長度可超過50公裡！人類也因此發現了迄今已知的最大偶完美數——2^43112608(2^43112609-1)。史密斯的成就被著名的《時代》雜志評為"2008年度50項最佳發明"之一。前不久，他獲得了EFF頒布的10萬美元大獎。

梅森素數在當代具有重大的理論意義和豐富的實用價值。它是發現已知最大偶完美數的唯一途徑；其探究推動了"數學皇後"——數論的研究，促進了計算技術、密碼技術、網格技術、程序設計技術的發展以及快速傅立葉變換的應用；另外它還可用來測試計算機硬件運算是否正确。由于梅森素數的探究需要多種學科和技術的支持，所以許多科學家認為：梅森素數的研究成果，在一定程度上反映了一個國家的科技水平。

C. 回文素數

回文素數又稱逆等素數，即把該數諸位逆序排列時與原數完全相等.1000以内的回文素數有16個：11，101，131，151，181，191，313，353，373，383，727，757，787，797，919，929。回文素數是否有無窮多是至今還未解決的問題.

回文詩：《晚秋即景》

煙霞映水碧迢迢，

暮色秋聲一雁遙，

前芩落輝殘照晚，

邊城古樹冷蕭蕭。

倒過來念為：

蕭蕭冷樹古城邊，

晚照殘輝落芩前，

遙雁一聲秋色暮，

迢迢碧水映霞煙。

芩（qín）

數學中的回文素數或回文質數：試着找一對吧,如：2位數的回文素數有4對：13—31；17—71；37—73；97—79;三位數的回文素數共13對；四位數的回文素數共102對；五位數共684對…………;有趣的是=3.1415926……;前兩位數：31-13;前六位數：314159-951413;

D：其它有趣的現象：

自守數：所謂自守數就是自已和自己相乘以後得到的數，尾數不變。在自然數中凡末尾數是1、5和6的數，不論自乘多少次，尾數仍然是1、5、6。 例如：21×21=421 ;21×21×21=9261;325×325=105625;6×6×6×6=1296 ;末尾是25和76的數也是自守數，三位數以上也有。

自然數中的奇數和偶數:

對所有的自然數，下面的規律也成立并且十分有趣：

在自然數中還有一些數，看起來貌不驚人，但卻十分特别，令人百思不得其解。6174就是其中之一。7641-1467=6174 ;有趣的是，不僅6174本身，就是任意一四位數字，隻要4個數字不完全相同，用上述辦法重複多次，最後終能得到6174這個數。例如1234這個數，我們用下列步聚運算：4321-1234=3087;8730-0378=8352;8532-2358=6174