獨家解讀: e的由來–––

數學大家雅各布.伯努利的一個錯誤思維

(高俊科)

題注: 寫下這個題目《無理數e的由來 數學大家雅各布.伯努利的一個錯誤思維》，有搏眼球的意味，目的是推動國内外各種文獻中改變關于連續複利的錯誤講述，不過，這題目說的也事實吧，歡迎朋友們對此進行讨論。

一 無理數e

無理數e是當x趨于無窮大時函數(1 1/x)^x的極限值。

這個無理數e ≈ 2.71828 1828～～～.

無理數e在數學，物理學，生物學，經濟學等領域中都有着特别重要的獨到的意義，有着廣泛的應用。

二 連續複利法

說一個廣泛流傳的金融生活中的故事，說它是一個故事，是因為就其道理來講，這種思維是不應該存在的，是錯誤的。

設有1萬元，年利率是100%，一年以後本利和就是2萬元。如果每半年取一次，每半年的利率取為50%，一年計息兩次，一年後的本利和就是2.25萬元,；如果每個季度取一次，每次的利率取為25%，一年以後的本利和就是2.4414萬元。照此算法，可計算每天，每小時，每分鐘取一次，一年後的本利和，如果把時間無限縮短，實現所謂連續複利計算，一年後的本利和大約就是2.71828萬元。

由此，雅各布.伯努利就把這種方法稱為”連續複利法”(見下面圖片，這圖片拍照于1988年北京科學技術出版社出版的翻譯日本人的《通俗數學(下)》)

三 現在國内外的經濟數學、金融學、貨币銀行學、工程經濟學、公司理财、衍生工具等教材中廣泛講授這種連續複利法計算。

通常講法是，根據所謂不連續複利計算公式

A(t)=A。(1 r)^t (1)

将一年分成m次計算，每次利率取為r/m,這樣一年計算m次 ,t年計算mt次，于是就有複利分期計算公式

A(t)=A。(1 r/m)^(mt) (2)

令m趨于無窮大，得出所謂連續複利公式

A(t)=A。e^(rt)。 (3)

四 這種連續複利計算錯在哪裡？

問題一 從A。(1 r)^t推導出A。e^(rt)，對于r=10%,就是從A。(1 10%)^t推導出

A。e^(0.1t)=A。(1 10.517%)^t。根據

A。(1 10%)^t推導A。(1 10.517%)^t，這是用任何知識推導都推導不出來的。

問題二 這種推導過程中的三個函數

A。(1 r)^t

A。(1 r/m)^(mt)

A。e^(rt)中的時間變量取值有無變化？A。(1 r)^t中時間變量隻取整數，A。e^(rt)中的時間變量是不是還是隻取整數？

三個函數的定義域是一樣的，公式A。e^(rt)并不能實現連續計算複利。

問題三 時間變量隻取整數， A。(1 r)^t 能反應資金的變化規律，時間變量取連續實數時，A。(1 r)^t為什麼就不反應資金的增值規律了，而要用A。e^(rt)計算資金連續變化規律？(關于連續複利法的錯誤論述，詳見高俊科文章《連續複利錯誤面面觀》)

五 這種連續複利計算引發的錯誤

從三個方面說。

1 1997年諾貝爾經濟學獎評委會沒有看到連續複利的錯誤。 1997年，諾貝爾經濟學獎授予了美國哈佛商學院教授羅伯特·默頓和斯坦福大學教授邁倫·斯克爾斯。他們創立和發展的b—s期權定價模型為包括股票、債券、貨币、商品在内的新興衍生金融市場的各種以市價價格變動定價的衍生金融工具的合理定價奠定了基礎。這種b—s期權定價模型中就用到了這種錯誤的連續複利計算。

2 這種錯誤的連續複利計算導緻以此為基礎的資金流現值計算公式，等額支付計算公式都錯，2014年高俊科有文章《國外教材中關于連續複利講授的種種錯誤》，這篇文章分析了國外五門課程教材中的五種不同的錯誤。

3 應用連續複利法，有的教材出現的錯誤到了可笑的程度，把在用中小學知識能正确解答的習題放在大學教材中給解錯了，見今日頭條文章《這些大學教材把本不糊塗的學生搞糊塗了》。

結論 存在了300多年的連續複利法是錯誤的，國内外多門課程中講的這種連續複利法是錯誤的，全面改正這一廣泛流行的錯誤極有意義，但也是個難以做到的事。