讀透定義，發散理解——2022年北京中考數學第28題

2022年的北京市中考數學試題，難度相對2021年有較大變化，總體上更容易了。壓軸題依然延續了新定義題型的風格，以平面直角坐标系中的點為素材，構建“對應點”新定義，通過平移、對稱等變換，探究圓外一點到圓心的距離最值。

題目

在平面直角坐标xOy中，已知點M(a,b)，N.

對于點P給出如下定義：将點P向右(a≥0)或向左(a<0)平移|a|個單位長度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移|b|個單位長度，得到點P’，點P’關于點N的對稱點為Q，稱點Q為點P的“對應點”.

(1)如圖，點M(1,1)，點N在線段OM的延長線上，若點P(-2,0)，點Q為點P的“對應點”.

①在圖中畫出點Q；

②連接PQ交線段ON于點T，求證：NT=1/2OM；

(2)☉O的半徑為1，M是☉O上一點，點N在線段OM上，且ON=t(1/2<t<1)，若P為☉O外一點，點Q為點P的“對應點”，連接PQ，當點M在☉O上運動時，直接寫出PQ長的最大值與最小值的差(用含t的式子表示)

解析：

(1)圖中給出的已知點坐标為P(-2,0)和M(1,1)，并沒有給出點N坐标，請特别留意。

①當然，為了作圖方便，題圖中将點N繪制在(2,2)，于是我們根據新定義的描述，繪制出點Q，如下圖：

②連接PQ交線段ON于點T，如下圖：

首先由新定義可知，PP'與OM平行且相等，而點N在OM的延長線上，因此可知PP'∥ON；

其次由點P'與點Q關于點N對稱，于是點N為線段P'Q中點；下面從兩種思路來證明：

第一種，相似。顯然△QNT∽△QP'P，再加上N是中點，所以它們的相似比為1：2，即NT=1/2PP'，而PP'=OM，所以得到NT=1/2OM；

第二種，中位線。我們知道經過三角形一邊中點，且和第三邊平行的直線，與兩邊交點間的線段是三角形的中位線，那麼在△QPP'中，NT滿足條件，是它的中位線，所以NT=1/2PP'=1/2OM；

最後想強調一點，由于點N坐标未給出，因此若在解題中，尤其是第②問，以N(2,2)為條件，用中點公式計算點Q坐标和點T坐标，并不符合題目本意，切不可憑“如圖”二字，再加上視覺效果，而認定N(2,2)，這不叫幾何直觀。

(2)從題目描述中，可以确切繪出的有圓O，點M，點N，但點P在何處并未說明，即點P可為圓O外任意一點，如下圖：

先聲明，圖上的點P僅為作圖方便，其它任意位置，結論均相同，後面會說明；

我們梳理一下條件：PP'與OM依然平行且相等，長度為1，點P'與點Q關于點N對稱。

我們不妨先連接P'Q，在△QPP'中，BN還是中位線嗎？

利用前面已經證明過的結論，PQ與線段OM相交于點B，有BN=1/2OM=1/2PP'，再加上BN∥PP'，因此BN是△QPP'的中位線；

當點M在圓O上運動時，點P'随之運動，帶動點Q運動，所以我們有必要弄清楚它們是如何運動的。

點M繞點O在圓周上運動，同理，點P'繞點P在圓周上運動；而點P'關于點N的對稱點Q也繞某個點在圓周上運動，為了找出點Q的運動路徑，我們可作出點P關于點O的對稱點A，如下圖：

連接AQ，發現對于四邊形AQP'Q，點N和點O分别是其對邊上的中點，若它是梯形的話，問題就非常簡單了，那麼，四邊形AQP'P是梯形嗎？

前面已經證明了BN是△QPP'中位線，即點B為PQ中點，所以我們很快便得到OB是△APQ中位線，得到AQ∥OB，結合前面OM與PP'的位置關系，所以AQ∥PP'，從而證明了梯形AQP'P，ON是它的中位線，所以ON=1/2(PP' AQ)，可表示出AQ=2t-1，這個結論非常重要，這意味着當點M運動時，點Q到點A的距離是個定值。

此處需要解讀定值2t-1，含參數也是定值嗎？

注意題目中“當點M在圓O上運動”這個條件，參數t并不能影響點M的運動，所以我們将它作為常量處理。

所以我們對于新定義中的“對應點”，本小題中有如下解讀，每當确定一次點P的位置，相應的确定一個t的值，點Q到點A的距離就是定值，即點Q在以A為圓心，2t-1為半徑的圓上。

上圖中的點P是任意作出的點，在這個基礎上得到的結論，是普遍成立的。

剩下的問題就非常容易了，點Q在圓A上，點P在圓A外，根據圓外一點到圓周上的距離最值情況，A、P、Q三點共線時才有最值，當點Q在線段AP上時取最小值，當點Q在PA延長線上時取最大值，如下圖：

所以PQ長的最小值為AP-AQ，最大值為AP AQ，它們的差為2AQ=4t-2；

解題反思：

讓我們再次審視題目條件中關于點N的描述，ON=t，并且1/2<t<1，說明點N在線段OM上靠近端點M處，我們知道點N的位置決定了對稱點Q的位置，當我們改變t的值，上述證明中AQ的表示會有何改變呢？

特殊值t=1/2時，如下圖：

可以發現，此時A、Q重合，PQ為定值，最值差為0；

特殊值t=1時，如下圖：

可以發現，此時AQ=OM=PP'，M、N重合，PQ最大值與最小值的差為2AQ=2；

借助這兩種特殊t值，我們還能推導出線段BN=1/2，也是一個定值；

其實在前面推演過程中，我們也能發現OB=t-1/2，為AQ的一半，其中ON=t，所以BN=1/2，是同樣的道理；

現在我們來看點P的位置，任意位置的點P，可作不同的圖形，每一種圖形的推導方法，都是相同的，即同理可得，如下圖：

若不限制點P在圓O外，又會是什麼情況呢？

在剛才的分析中，點Q始終在圓A上，點P不僅在圓O外，更在圓A外，但如果不對點P進行限制，則極有可能出現下圖情況：

當點P在圓A内部時PQ最大值為AP AQ，最小值為AQ-AP，它們的差為2AP，這是個自由變化的量；若改為最大值與最小值之和，恰好也等于2AQ；

新定義“對應點”相對于2020年的“平移距離”、2021年的“關聯線段”，理解難度降低了，應用難度相應也有所下降，學生解答應該比較順利。

愛數學做數學