今天我們要拆解的内容,是有理數運算中的絕對值部分,這個知識點是一個重點,也是一個難點。這個知識點掌握的程度,直接影響整個中學的計算基礎。對,是整個中學,包括了高中。
廢話不多說,我們開始拆書吧!這裡補充個建議,如果是學生朋友,建議你一邊看着教材,一邊看我的拆解,應該吸收得會更好些。
先上全圖:
主體内容其實不多,隻有4頁,但是重點内容比較多,所以今天才去逐段解釋的方式。先看第一段。
這一段,首先有3個問号,前兩個問号的回答,并不難,也就是這些數的數字部分,是相同的,隻是有些前面的符号不同。
前面沒有符号的,像3,5,(分數方便輸入,我就不舉例了哈!),其實它們都有一個“ ”号,是被省略掉的。
這裡我又補充一點:理科部分,有許多可以省略的地方,這些地方,字面上可以省略,但是當我們閱讀的時候,我們的腦海中,是不能省略這些被省略的部分的。我們後續還要接觸很多可以省略的内容。例如“1”,1作為系數或者因數的時候,是經常被省略掉的,但是我們在做題的時候,腦子裡千萬不能把“1”給省略了,很多時候腦子裡省略了不該省略的内容,就會導緻解題複雜。
換句話說,作為做題者,你要能發現出題者故意省略掉的部分内容,這樣你就能獲得比别人多一個已知點。這裡不要嫌我啰嗦,等題目接觸多了,大家就會發現這一點的重要性。
再回來分析這段話,第一段的第3問,也就是自己舉例,拆了3節了,大家應該可以發現,我們數學書編者,很喜歡讓我們舉例子。其實,這是非常重要的學習方法,你能夠輕松的舉出其他例子,能夠舉一反三,才能夠說明,你能真的理解這個知識點。
況且,這個例子,并不難列舉。所以,大家可以列個三五個例子,其實,随便找一些數,一個取“ ”,一個取“-”就可以了。
這裡的第二段話,主要闡述了三段黑體字:相反數,互為相反數,0的相反數是0。
如果你能夠通過閱讀教材的内容,就能夠理解這三個概念的意思,那就最好不過了,如果做不到,那就要多多鍛煉一下自己的閱讀理解能力,這個是很重要的一個能力。
詳細的理解,我就不引導了,因為确實不難,如果真的不理解,歡迎留言或者私信。
在這裡,我要着重延伸的,是“互為相反數”這個點,重點是“互”這個字。
在中學的理科中,“互”的量有很多,互為相反數,互為倒數,互為餘角,互為補交,互斥,還有物理中的相互作用力,等等,都帶一個“互”字。
我先分析今天這個“互為相反數”,希望朋友們學會之後,可以以此類推,在以後的學習中,可以去用來輔助理解其他的“互”字知識點。
互為相反數,互為,就是起碼得有兩個對象,才能“互”,對吧。所以,除了0以外,一提到相反數,腦海裡就要明白,這裡有兩個數,而不是一個。相反,指的就是符号相反,3和-3,3前面的符号是“ ”,-3前面的符号是“-”,這兩個數字除了前面的符号不一樣,其他的都一樣(也就是數字一樣)。
我們再看看後面的議一議,其實可以更好地幫助我們,來理解相反數這個概念。
第一段,要畫數軸,我建議大家還是親自畫一下。我這裡不方便,就偷個懶了哈!我在腦海裡腦補出來,各位熟練數軸之後,也可以訓練這種腦補畫數軸的能力,練一練,挺好的。
第二段,通過腦補了數軸,我們也可以發現第二段說的内容:互為相反數的兩個點,位于原點的兩側,且與原點的距離相等。
其實,換句話說:相反數關于原點對稱(各位讀者朋友也可以想些其他的‘換句話說’)。
第三段,其實有點突兀,直接就出來解釋“絕對值”的概念了。沒有過多的鋪墊。直接給出了絕對值的定義:在數軸上,一個數所對應的點與原點的距離叫做這個數的絕對值。并說明了絕對值的符号。
這裡,又隐藏了一個知識點,來一起看看。
絕對值的定義,說絕對值是一個數到原點的距離。而上面,第一段、第二段,關于相反數,已經說明了:互為相反數的兩個數,到原點的距離相等。所以,如果我們知道一個數“a”的絕對值是一個正數,那麼這個數“a”,就有兩種情況,而不是一種哦。
我們假設a的絕對值是5,意思就是a到原點的距離,是5,我們接下來有兩種思考方法。
第一種:上節數軸中提到的一個小學知識點:直線上,到一個定點的距離相等的點,有兩個。而在數軸上,0就是一個定點,那麼到0的距離等于5的點,肯定是有兩個的,所以a有兩種情況,分别是原點左邊五個單位的“-5”和右邊五個單位的“ 5”,這是這種思考過程。
第二種:剛才的相反數的内容提過了,互為相反數的兩個數,到原點的距離相等,這句話反推過來的意思就是,到原點的距離相等的數(0除外),肯定是有兩個的,并且這兩個數是互為相反數的。
我用這麼多字來引出這種思考過程,不單單是為了方便大家理解這個知識點,而是再一次呼籲各位學生朋友,要多用基礎知識點,來做延伸思考,這樣,你就能學到比别人更多的内容!
接下來,是一段想一想。
這想一想的兩個問題,我想并不難回答。我這邊給一些參考。
(1)如果a表示有理數,那麼|a|就表示a到原點的距離的大小。
(2)互為相反數的兩個絕對值是相等的。
很簡單吧。雖然我給出了我的答案,但我更希望大家能自己想出答案。加油。
然後是例1
例1不難理解,不做過多說明了,有不明白的,歡迎留言,或者私信。
這是絕對值的性質,正數的絕對值是它本身,負數的絕對值是它的相反數,0的絕對值是0。
這三句話,不難記,但是大部分人容易忽略它們,特别是在做一些去絕對值的題目中,就是不用這三句話去做題,腦子裡隻想着:絕對值是正的,0除外。當然,這句話并沒錯,但不要亂用。
例如|π-3|去掉絕對值是什麼?|3-π|呢?因為π>3,所以π-3大于0,是正數,所以|π-3|的結果是π-3的本身,也就是|π-3|=π-3;
也因為3-π小于0,是負數,所以|3-π的結果是3-π的相反數,也就是|3-π|=-(3-π)=-3 π=π-3。看,我沒有省步驟,因為這是腦海裡進行的,當然,實際做題的時候,中間兩步我是不會再草稿紙上寫出來的,而是經過腦補,算出來,之後寫下最終結果。
這裡提醒一下:在中學代數中,有“-”号的,不一定是負數哦!
所以,到底是|a|=a,還是|a|=-a,可不能先入為主,一定要根據實際情況來判斷。具體的,等我們到講習題的時候再補充。
接着,是議一議,絕對值的另一個性質,以及例2.
這裡的議一議,不做過多說明了,大家應該沒什麼問題吧?如果有疑問,請留言,或者私信。
這個性質也不難:兩個負數比較大小,絕對值大的反而小。例2也充分展示了如何用這個性質,來比較一些負數的大小。
但是,其實很多時候,我很少用這個性質來去做比較大小的事情。比較大小,更多的時候,還是直接畫數軸來得直接一些。
那麼這個性質是不是就是雞肋了?當然不是。
我們經常用的,不是這個性質的本身,而是這個性質的逆運用。
就是如果a,b都是負數,且|a|<|b|,那麼a>b。
是的,是給以後學了代數之後,來判斷代數之間大小的時候用的,而不是從來判斷具體數字大小的。
這個以後遇到具體題目的時候,會再給大家講講。
随堂練習的參考答案,如圖所示了,還是那句話,盡量先自己做一遍。有問題留言,私信。
習題2.3,知識技能的第1題,雖然是簡單的判斷題,但每一個錯誤點,其實是很多同學經常犯的誤區,還是要注意一下。并且,在判斷對錯的時候,盡量用前面學過的基礎知識點來做依據。
第2題,是基礎計算題,因為公式編輯我還不會加色彩所以暫時用黑色了。
第三題,畫圖即可。
第4題,(1)> ;(2)< ;(3)< ;(4)> 。
數學理解部分,很多時候都是對基礎概念的一個延伸運用,這種運用方法,也會出現在以後的習題中。
聯系拓廣,不難,但很重要,因為大家必須學會每學一個新知識,都要跟舊知識進行一次拓廣。
就像這個第6題,它聯系的是第一章的知識點,第一章豐富的圖形世界中第二節,展開與折疊部分的内容。如果我這裡将相對的面标出來了,剩下的隻要在相同字母的地方,寫上相反數,即可。
以後學習拆到新的章節,我也會跟大家一起,做跟過的聯系拓廣。
這個打※的第7題,千萬不要以為打※的老師不要求做,你就可以不做。告訴你,考試的題目,就是從打※的題目中延伸出來的。所以,你不但要會做,還要認真的思考,歸納,總結。
先給參考答案:字母a表示一個有理數,-a表示a的相反數,-a不一定是負數。
然後再着重說明,不要以為-a就一定是負數。這是前面拆書的時候提到過,有“-”号的,不一定是負數。在不清楚a本身是什麼數的時候,與a相關的一切數字,都是不确定的,相反數,倒數,絕對值什麼的,都是不确定的,這個時候千萬不要自作聰明下結論。
很多同學忽略這個題,所以考試的時候經常因為這類題目丢分,有丢過分的同學,要不要舉個手?
沒事,承認自己出過錯,沒什麼丢人的,能夠清晰地大膽地認知自己的不足,然後想辦法加以去糾正,這才是最勇敢的人!
今天的内容比較多,可能會看的亂,畢竟絕對值是一個重難點,隻是一次拆書,後面拆完一章,我也會跟大家一起,做一次歸納總結。
希望能幫助愛學習的朋友們,更好的學習!
歡迎留言,私信!
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