說到數資，就一定繞不過“牛吃草”問題，這類題型比較經典，考察的時間比較久，在近幾年考試中（如2019年聯考）也考查到了該考點。

這麼重點的題型，小粉筆當然有必要幫大家弄懂啦，所以今天就總結了一下“牛吃草”題型，快來跟着我一起看看吧。

什麼是“牛吃草”

1

“牛吃草”問題原型

有一片草原，草在不停生長，沒有牛消耗草，經過一段時間之後草量變多；現在有一頭牛吃草，吃草速度小于生長速度，經過一段時間，草量仍然增加；現有三頭小牛吃草，吃草速度等于生長速度，經過一段時間，草量保持不變，因為吃的量與生長的量相同；三頭小牛生了一群小牛，牛吃草的速度遠大于草原生長速度，經過一段時間，草原被吃光。

2

基本公式

y=（N-x）*t，即原有草量=（牛數-草生長速度）*時間。

（1）推導：原來的草用y表示，新生長的草用x表示，生長時間為t，假設每天生長速度不變（默認v=1），原來草量=（牛吃的草-生長的草）*時間，則y x*t=N*v*t，因v=1，則y x*t=N*t，y=（N-x）*t。

（2）隐含前提：默認每頭牛吃草的效率（即速度）為“1”，所有“n”的真實含義是指“N頭牛*吃草的速度”，吃草速度通常賦值為1。

3

相同題型

牛吃草問題與追擊問題相同。

如一個月賺10元，每個月花13元，現在有存款200元，問什麼時候可以将200元花完？列式：200=（13-10）*t，t即所求，本題與“原來草量=（牛吃的草-生長的草）*時間”本質相同。

真題演練

例1

（2014河北）有一個水池，池底不斷有泉水湧出，且每小時湧出的水量相同。現要把水池裡的水抽幹，若用5台抽水機40小時可以抽完，若用10台抽水機15小時可以抽完。現在用14台抽水機，多少小時可以把水抽完：

A.10小時

B.9小時

C.8小時

D.7小時

【解析】

題型特征：有兩個排比句（用5台抽水機40小時可以抽完，若用10台抽水機15小時可以抽完），句式特征為抽水機抽水（即牛在消耗草），抽水機相當于牛，泉水湧出相當于草生長，本題為牛吃草問題。

方法一公式法：

y=（N-x）*t，x指的是草原生長的量，即泉水湧出的量，原來的水量y相等，代入公式：y=（5-x）*40=（10-x）*15，約分得：（5-x）*8=（10-x）*3，解得x=2，回代得y=120，問的是用14台抽水機抽水的時間，列式：120=（14-2）*t，解得t=10，對應A項。

方法二列表法：

（1）5台抽水機40小時可以抽完：牛數N=5，時間t=40，N*t=5*40=200；

（2）10台抽水機15小時可以抽完：牛數N=10，時間t=15，N*t=150；

（3）（200-150）/（40-15）=2，即x=2，則使用5台抽水機時N-x=3，使用10天抽水機時N-x=8，（N-x）*t=3*40=8*15=y=120，現在用14台抽水機，則牛數N=14，N-x=14-2=12，120/12=10，即t=10，對應A項。【選A】

【注意】

1、代入公式時要列橫式。

2、有一定基礎的同學可以用列表法解決該類問題，列表法用公式法都一樣。

例2

（2019聯考）某河道由于淤泥堆積影響到船隻航行安全，現由工程隊使用挖沙機進行清淤工作，清淤時上遊河水又會帶來新的泥沙。若使用1台挖沙機300天可完成清淤工作，使用2台挖沙機100天可完成清淤工作。為了盡快讓河道恢複使用，上級部門要求工程隊25天内完成河道的全部清淤工作，那麼工程隊至少要有多少台挖沙機同時工作？

A.4

B.5

C.6

D.7

【解析】

出現兩個排比句，牛吃草問題。

方法一公式法：

y=（N-x）*t，本題x代表的是新增泥沙，y相同，因此列式時要列橫式，代入公式：y=（1-x）*300=（2-x）*100，解得x=0.5，回代得y=（1-0.5）*300=150。問25天完成清淤工作要有多少台挖沙機，列式：150=（N-0.5）*25，解得N=6.5，至少要6.5台，說明6.5台不行，要7台，台數必須為整數，對應D項。

方法二列表法：

（1）使用1台挖沙機300天可完成清淤工作：牛數N=1，時間t=300，N*t=300；

（2）使用2台挖沙機100天可完成清淤工作：牛數N=2，時間t=100，N*t=200；

（3）（300-200）/（300-100）=0.5，即x=0.5，則使用1台挖沙機時N-x=0.5，使用2台挖沙機時N-x=1.5，0.5*300=1.5*300=150，即y=（N-x）*t=150，現在t=25，150/25=6，N-x=6，則N=6 0.5=6.5，對應D項。【選D】

【注意】

1、基本計算能力一定要有。

2、對于牛吃草問題，y指的都是原有的量。本題y指的是用挖砂機之前原來有的泥沙。

3、使用列表法時要注意減的時候方向一緻，即大數-小數。

4、列表法與解方程相同，是不過是省略了解方程的過程。

例3

（2012山東）某籃球比賽14：00開始，13：30允許觀衆入場，但早有人來排隊等候入場，假設從第一個觀衆來到時起，每分鐘來的觀衆人數一樣多，如果開3個入場口，13：45時就不再有人排隊；如果開4個入場口，13：40就沒有人排隊，那麼第一個觀衆到達的時間是：

A.13：00

B.13：05

C.13：10

D.13：15

【解析】

本題為牛吃草的變型題，與之前的表述略有不同。根據兩個“如果……”判定題型為牛吃草問題，題中入場口可看做“牛”，人可看做“草”。

公式：y=（N-x）*t，本題中x指的是增加的人數，即每分鐘新來的觀衆。13：30允許入場，“如果開3個入場口，13：45就不再有人排隊”，推出所需要的時間是15分鐘；“如果開4個入場口，13：40就沒有人排隊”，所需要的時間是10分鐘，所以将數據代入公式為y=（3-x）*15=（4-x）*10，解得x=1，y=30，30指的是原來的人，即開始入場之前已經來了的人，x=1表示每分鐘新來1人，之前有了30人，說明需要30/1=30分鐘，在13：30以前已經到了30人，所以第一個到達的觀衆應該往前推30分鐘，即13：00，對應A項。【選A】

【注意】

1、判别：

（1）特征：“N（‘牛’數） T（時間）”形式的排比句

（2）常見的“牛吃草”：入場口“吃”人、水池排水、資源開采

2、方法：

（1）套公式：把N、T代入公式：y=（N-x）*T

（2）列表法

例4

(2014聯考)藥廠使用電動研磨器将一批曬幹的中藥磨成藥粉。廠長決定從上午10點開始，增加若幹台手動研磨器進行輔助作業。他估算如果增加2台，可在晚上8點完成，如果增加8台，可在下午6點完成。問如果希望在下午3點完成，需要增加多少台手工研磨器？

A.20

B.24

C.26

D.32

【解析】

方法一：

判定題型為牛吃草問題。本題中y指的是藥原有的量，電動和手動的都消耗量，且電動為定值，手動可以是2台，也可以是8台，所以電動的為x，手動（牛）為N，此時發現N和x方向一緻，都去消耗中藥。“如果上午10點開始，手動增加2台，在晚上8點完成”，晚上8點=20點，則從10點到20點一共是10個小時；“如果增加8台，在下午6點完成”，下午6點=18點，從10點到18點用了8個小時。

将數據代入公式為y=（N x）*t=（2 x）*10=（8 x）*8，解得x=32-10=22，y=240。本題求的是“如果在下午3點完成，需要增加多少台手工研磨器”，手工研磨器用N表示，原來的量為240，從10點到下午3點（15點）一共用了5個小時，所以列式為240=（N 22）*5，解得N=26，對應C項。

方法二（列表法）：

如圖，“增加2台，在晚上8點完成”，即2*10=20，“增加8台，在下午6點完成”，即8*8=64，方向一緻相減，下面-上面得到：64-20=44，8-10=-2，則x=44/（-2）=-22，2-（-22）=24，8-（-22）=30，所以y=24*10=30*8=240，問下午三點，從上午十點到下午三點是5個小時，總數為240，所以一共需要240/5=48台，48=手工研磨器-（-22），那麼手工研磨器=26，對應C項。【選C】

【注意】

1、什麼時候是減法，什麼時候是加法？

答：一個是減少的量，一個是增加的量，兩個量方向相反，用y=（N-x）*t；如果一個是減少的量，另一個也是減少的量，方向一緻，用y=（N x）*t。

2、牛吃草問題對于初學者來說，公式一定要會，先理解公式，如果有一些基礎的話，用列表法也可以。

“牛吃草”問題總結

1、題型判定：

（1）特征：“N（‘牛’數） T（時間）”形式的排比句

（2）常見的“牛吃草”：入場口“吃”人、水池排水、資源開采等

2、解題方法：

（1）公式法：y=（N=x）*T；

（2）列表法。

3、常考題型：

（1）經典型

（2）可持續發展型：

①特征：永遠“吃”不完

②解題關鍵：N最大為x

（3）拔高型：特征：N與x的方向一緻，都消耗原有存量

各位小夥伴看明白了嗎？掌握方法之後隻要多做題多總結，慢慢強化技巧和方法，提高做題效率，“牛吃草”題型就會變得很簡單啦。祝大家都能拿到一個好成績，成功上岸~