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中學數學根式方程專題
中學數學根式方程專題
更新时间:2025-04-26 13:43:15

在學習用一元二次方程解應用題時,由于所得的根一般都有兩個,雖然都是方程的根,但不一定都符合題意,所以在求出方程的根後,要注意檢驗是否符合實際情況,然後根據實際情況再進行取舍.

中學數學根式方程專題(方程應用中根的取舍)1

舍去不符合題目要求的根

例1 (2018•威海二模)某百貨商場服裝專櫃在銷售中發現“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件,每件盈利40元. 為了迎接“六一”兒童節,商場決定采取适當的降價措施,增加銷售量,減少庫存. 經市場調查發現:如果每件童裝每降價4元,那麼平均每天就可多售出8件. 要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元,那麼每件童裝應降價多少元?

分析:根據“每降價4元,每天就可多售出8件”可得出銷售量與價格的關系.若設每件降價x元,則每天的銷售量可增加2x件,再由赢利1200元列方程即可.

:設每件童裝應降價x元,則每天的銷售量增加2x件,依題意可得方程

(20+2x)(40-x)=1200,

解得x1=10,x2=20.

但由于要減少庫存,故應增加銷量,所以降價應最多,因此,x=10應舍去.

所以每件童裝應降價20元.

點評:在某些運用一元二次方程求解的“每...每...”型應用題中,命題者會設置諸如“減少庫存”、“讓利于消費者”等附加條件,我們在審題時注意到這些條件,在求出方程的根後,依據這些條件對方程的根進行取舍.

舍去不符合實際情況的解

例2 (2017•鹽城)某商店在2014年至2016年期間銷售一種禮盒.2014年,該商店用3500元購進了這種禮盒并且全部售完;2016年,這種禮盒的進價比2014年下降了11元/盒,該商店用2400元購進了與2014年相同數量的禮盒也全部售完,禮盒的售價均為60元/盒.

(1)2014年這種禮盒的進價是多少元/盒?

(2)若該商店每年銷售這種禮盒所獲利潤的年增長率相同,問年增長率是多少?

分析:(1)設2014年這種禮盒的進價為x元/盒,則2016年這種禮盒的進價為(x﹣11)元/盒,根據2014年花3500元與2016年花2400元購進的禮盒數量相同,即可得出關于x的分式方程,解之經檢驗後即可得出結論.

(2)設年增長率為a,根據“購進的數量=總價÷單價”求出2014年的購進數量,再根據“2014年銷售利潤×(1 a)2=2016年銷售利潤”可得出關于a的一元二次方程,解之即可得出結論.

:(1)設2014年這種禮盒的進價為x元/盒,則2016年這種禮盒的進價為(x﹣11)元/盒,依題意得方程

中學數學根式方程專題(方程應用中根的取舍)2

解得x=35.

經檢驗,x=35是原方程的解.

所以2014年這種禮盒的進價是35元/盒.

(2)設年增長率為a,2014年的銷售數量為3500÷35=100(盒),依題意可得方程:

(60﹣35)×100(1 a)2=(60﹣35 11)×100,

解得a1=0.2=20%,a2=﹣2.2.

但所獲利潤的增長率不能為負數,

所以x=-2.2應舍去,

所以銷售這種禮盒所獲利潤的年增長率為20%.

點評:某些實際應用問題中方程的根具有特定的取值範圍,有時其值不能大于1,比如成本的降低率;有時其值不能為負數,比如本題的年平均增長率等,這種不符合生活實際情況的方程的根應舍去.

舍去不符合隐含條件的解

例3 (2018•南京金陵中學二模)如圖,要建一個面積為130m2的倉庫,倉庫的一邊靠牆(牆長16米),并在與牆平行的一邊開一道1米寬的門.現有能圍成32米長的木闆,求倉庫的長和寬.

中學數學根式方程專題(方程應用中根的取舍)3

分析:由于倉庫的一邊靠牆,并在與牆平行的一邊開一道1m寬的門,所以倉庫寬的2倍+倉庫的長-1m=32m.

:設倉庫的寬為xm,則倉庫的長為(33-2x)m,依題意可得方程:

x(33-2x)=130,

解得x1=10,x2=6.5.

經檢驗,x1=10,x2=6.5.

當x=10時,33-2x=13;

當x=6.5時,33-2x=20>16.

因為牆長16m,

所以x=6.5不符合題意,應舍去.

所以倉庫的長為13m,寬為10m.

點評:一些實際問題中會隐含着一些條件,比如本題就隐含着“倉庫的長度不能大于牆的長度”,因此在審題時應仔細挖掘出這些隐含的條件并據此進行驗根,避免發生錯誤.

《中學生數理化》(初中版)中考版2018年第9期

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