方程（equation）在數學之中有着很高的地位，我們常見的有一次、二次和三次方程等等，并且我們還能通過部分方程的求根公式來進行求解方程的根。本文主要針對的是一般性的一元 n 次複系數方程，即是滿足下圖的方程：

那麼由高斯定理可知，滿足上式該 n 次系數方程的根就有且僅有 n 個。注意：根據伽羅瓦群理論，五次及五次以上方程沒有求根公式，即不能以代數數的形式寫出方程的根，但是不是說這種方程沒有解，使用超越函數（如三角函數、對數函數等）還是可以表示該方程的解。但是有的時候我們求解某些方程過于繁瑣，且存在約束條件的情況下并不需要完全求解方程，而且若是含有超越數（如圓周率 π、自然常數 e 等）的方程，求解過程也會略顯困難。因此人們想要另辟蹊徑，想要找尋其他高效的方式來求解方程，在此期間湧現出了大量的求解方法如：二分法、不動點疊代等。本文主要介紹另一種優化的不動點疊代法——牛頓疊代法（Newton-Iterative-Method）。

牛頓疊代法也稱為牛頓-拉夫森(Newton-Raphson)疊代法，它不僅适用于方程或方程組的求解，還常用于微分方程和積分方程求解，可見它的重要性。其方法基本原理如下：

設 f(x) ∈ C² [m，n]，對 f(x) 在 x₀ ∈ [m，n] 領域内對其進行泰勒展開，得如下結果：

舍去二次項，得到 f(x) 的線性近似式：

這也是關于 x₀ 這一點的切線方程，由此得到方程 f(x) = 0 的近似解：

即可得出關于 x 的疊代格式：

在此給出關于牛頓法的幾何意義：牛頓疊代法也稱為牛頓切線法，這是由于 f(x) 的線性化近似函數是曲線 y ＝ f(x) 過點（x₀，f(x₀)）的切線而得名的，将該零點代之 f(x) 的近似方程以求的零點，即切線 T 與 X 軸交點的橫坐标，真實的根值為 X* ，牛頓疊代法實質上是一種線性化方法，其基本思想是将非線性方程逐步歸結為某種線性方程來求解。

那麼牛頓疊代法是收斂的嗎？或者說是否對于任意的初始值 x₀ 都能夠保證該疊代的結果收斂到 X* ？下面将通過代數解析的方式來說明其收斂性：

将牛頓疊代式寫成如下形式，即可獲得的不動點疊代形式：

這樣就可以應用不動點疊代的收斂原則，隻須證明在根 β 附近的疊代函數是一個壓縮映象，即可證明其收斂性。由于

這裡的根 β 是單根，即 f( β ) = 0 且 f ' (β) ≠ 0，于是：

由于 γ (x) 的連續性可知，存在一個領域（ β - δ，β δ )，對該領域内的任意 x ，都有 | γ' (x) < q |，其中 0＜q＜1，因此 γ (x) 為區間（ β - δ，β δ ) 上的一個壓縮映像，于是我們可以得到如下結論：

由此可見，牛頓疊代法的局部收斂性較強，所以隻有初值充分地接近，才能确保所疊代序列的收斂性。為了放寬對局部收斂性的限制，必須再增加能夠使該序列收斂的充分條件，

上式可以化為以下幾種情況：

其中 ① 保證了零點的存在性；② 保證了函數的單調性，同時也保證了在 區間[ a，b ] 内有唯一的零點；③ 保證函數的凹凸不會改變，④ 與 ③ 保證了每一次的疊代生成的值都在區間 [a，b] 之中；反映到圖像上如下：

若選取初始值不滿足上述條件時，會出現越疊代越遠甚至死循環的情況，比如下圖這些情況：

介紹完牛頓法的性質和原理，那麼我們能夠用它來做些什麼呢？即前面說到可以用來進行方程的求解。假設給定正數 a ，建立如下關系式：

則 f(x) = 0 的正數解就是其算術平方根。那麼用牛頓疊代公式可得：

由于當 x ＞ 0 時，f ' (x) = 2x ＞ 0，f '' (x) = 2 ＞ 0，故由收斂定理可知，對于任意滿足條件 x₀ > √a 的初始近似值，由選代公式所産生的序列必定收斂于 √a 。

下面我們使用程序(TypeScript)來進行開平方運算：

對于其他 n 次方的開方運算與上述類似，牛頓法在數學分析中使用非常廣泛，在此不再一一介紹，喜歡其他關于數學與程序方面的小夥伴可以留言加關注，之後我将會進行講解。我是童話君，小夥伴們拜拜～～～