拉格朗日中值定理在應用中，往往會遇到重複應用的情況。而且在這種情況下又通常與函數的二階導數有關。我們來看這樣的一道例題：

設f為[a,b]上的二階可導函數，f(a)=f(b)=0，并存在一點c∈(a,b)，使得f(c)>0，證明：至少存在一點ξ∈(a,b)，使f”(ξ)<0.

分析：判斷ξ的二階導數的符号性質，我們往往需要在已知區間上，再找一個子區間，這個子區間的兩個端點，就是一階導數符合拉格朗日中值定理的兩個點。因此又要在已知區間上取一個點，使原區間劃分成兩個區間。這是一個逆向思維的過程。

按順序就是，先在a到b的區間上找一個點，這個點通常是任意取的，因此就取題目中所給的c點，這樣原區間就被分成兩個區間，一個是區間[a,c]，一個是區間[c,b]，然後分别在這兩個區間上應用拉格朗日中值定理，找到兩個符合拉朗日中值定理的點，記為ξ1和ξ2，那麼區間[ξ1,ξ2]就是[a,b]子區間。在這個子區間上再運用一次拉格朗日中值定理，一共應用了三次拉格朗日中值定理，結合題目中其它量的符号性質，就可以得到題目要求的結果了。前提是拉格朗日中值定理的條件都要滿足。

由于f在閉區間上二階可導，所以原函數和一階導數在這個區間上都連續且可導，因此都符合拉格朗日中值定理。

所以在(a,c)上，可以找到符合拉格朗日中值定理的點ξ1，使得f(c)-f(a)=f’(ξ1)(c-a)。而f(a)=0,所以f(c)-f(a)=f(c)>0，從而f’(ξ1)(c-a)>0..

同理，在(c,b)上，也可以找到一個符合拉格朗日中值定理的點ξ2，使得f(b)-f(c)=f’(ξ2)(b-c)，其中f(b)=0，所以f(b)-f(c)=-f(c)<0，所以f’(ξ2)(b-c)<0。

又c-a>0, b-c>0，所以f’(ξ1)>0，f’(ξ2)<0，從而有f’(ξ2)-f’(ξ1)<0。另一方面，ξ2-ξ1>0，這兩個條件是下面要用到的。

再次運用拉格朗日中值定理，可以知道在(ξ1,ξ2)上，存在一個點ξ，使得ξ的導數的導數，即二階導數等于(f’(ξ2)-f’(ξ1))/(ξ2-ξ1)。由分子分母的符号性質，就可以得到f”(ξ)<0的結論。而(ξ1,ξ2)就包含于(a,b)。以下組織證明過程：

證：由拉格朗日中值定理可知：f(c)=f(c)-f(a)=f’(ξ1)(c-a)>0， ξ1∈(a,c)，

-f(c)=f(b)-f(c)=f’(ξ2)(b-c)<0，ξ2∈(c,b)，

∴f’(ξ1)>0，f’(ξ2)<0，∴f’(ξ2)-f’(ξ1)<0，ξ2-ξ1>0，

再次由拉格朗日中值定理可知：至少存在一點ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b)，使

f”(ξ)=(f’(ξ2)-f’(ξ1))/(ξ2-ξ1)<0.

拉格朗日中值定理的應用，經常會出現這種題型，一定要掌握好哦。