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FIR濾波器的傳遞函數為：

轉換到時域為：

信号通過FIR濾波器不失真的條件就是濾波器在通帶内具有恒定的幅頻特性和線性相位特性，FIR濾波器和後面要說的IIR濾波器相比，其主要優點就是線性相位。

線性相位的系統需要其單位沖激響應h[n]滿足下面的式子，即系統單位沖激響應奇對稱或偶對稱。

由于N可以取奇數或者偶數，而且又有正負之分，固FIR濾波器的單位沖激響應一共有四種不同的情況，下面具體讨論：

1）、h[n]=h[N-1-n]，且N為奇數

可以看出在該條件下，系統傳輸函數具有嚴格的線性相位，并且從上式看得出其幅頻特性中包含cos（nw）函數，固幅頻函數關于w=0,pi,2*pi三點偶對稱，固該類型的FIR濾波器（系統沖激響應h[n]長度為奇數且關于N-1/2偶對稱）适合設計高通，低通，帶通，帶阻等各類濾波器。

2）、h[n]=h[N-1-n]，且N為偶數

可以看出在該條件下，系統傳輸函數具有嚴格的線性相位，并且從上式看得出其幅頻特性中包含cos[（n-1/2）w）]函數，其關于w=pi奇對稱，固其在w=pi處肯定等于0，因此該類型FIR濾波器不适合設計高通和帶阻型。

3）、h[n]=-h[N-1-n]，且N為奇數

因為h[n]奇對稱，且N為奇數，那麼可以得出h[(N-1)/2]=0，根據上面推導可以得到該系統傳輸函數為：

由于sin(nw)關于w=0，pi，2pi奇對稱，固改系統傳輸幅頻特性在w=0，pi，2pi點必須是0，因此該類型FIR濾波器隻适合設計帶通濾波器。

4）、h[n]=-h[N-1-n]，且N為偶數

由于sin[(n-1/2)w]關于w=0,2pi奇對稱，關于w=pi偶對稱，因此該類型FIR濾波器不能設計低通和帶阻濾波器。

[左上]可以看出在h[n]滿足上述四種情況時，系統的傳輸函數的相頻特性都滿足線性相位的要求，但是當h[n]奇對稱時，通過該濾波器的所有頻率成分上都會額外添加一個90度的相移，這相當于對進入FIR濾波器的信号先進行了移相在濾波。而且不管h[n]是偶對稱還是奇對稱，信号經過FIR濾波器後會引入一個N-1/2的群延時。

根據上面分析，我們看到FIR濾波器的設計主要是确定其沖激響應h[n]的系數，不同的系統對應不同的頻率特性。試想對于一個理想低通濾波器，其頻域的有限寬度，對應到時域就是無限長，這肯定是物理不可實現的，在現實中，我們為了FIR的可實現性，會選擇加窗的方法去對理想型濾波器進行逼近。

窗函數設計法，其實就是一種無限長度的截斷，這會造成一個問題，那就是頻譜的洩露 ，試想理想濾波器的沖激響應是無限長，如果截取其中一段進行近似表示，那麼截取後的信号頻譜其頻域将會無限長，那麼通過加窗就造成原有的有限頻帶分散到無限的頻帶上，這就是所謂的頻譜洩露。頻譜洩露不可避免，但是要盡量減小。

在實際的設計過程中窗函數的類型有很多，不同窗函數對設計的濾波器性能有不同的影響，實際應用中要根據不同的需求選擇不同的窗函數。具體可以看下圖所示，可以看到不同的窗函數都具有明顯的主瓣和旁瓣，其中主瓣寬度和旁瓣的衰減特性是不同窗函數明顯的不同也是我們選取窗函數的依據，矩形窗具有最窄的主瓣寬度，但也有最大的旁瓣幅度（第一旁瓣較主瓣大概隻衰減13dB）；blackman窗具有最大的旁瓣衰減，同時也有最大的主瓣寬度，通常hanning窗和hamming窗具有較小的旁瓣幅度和較快的衰減（分别關系到設計FIR濾波器的旁瓣電平和過渡帶寬度），是常用的窗函數。

下表給出了不同窗函數的主瓣寬度和第一旁瓣衰減，後面會講到窗函數設計FIR濾波器過程中會應用到這些參數。

利用窗函數設計濾波器十分簡單，其步驟為：

1）、對理想濾波器的頻域響應進行Fourier逆變換得到理想濾波器的單位沖激響應h[n]；

2）、根據設計FIR濾波器的性能指标選擇響應的窗函數對上面的理想濾波器的單位沖激響應進行加窗截取即可。

一般情況下，利用窗函數進行FIR濾波器設計過程中，窗的長度選擇的越長，那麼得到的濾波器其幅頻特性越好，但是對應的數據處理量就會越大，例如當我們給定了需要設計FIR濾波器的過渡帶寬度就能夠根據上面表格的主瓣寬度得到窗口長度N。還有一個需要明确的就是通過上面各類窗函數的圖形我們知道利用窗函數得到的FIR濾波器的單位沖激響應h[n]肯定是偶對稱的，那麼當N為偶數時不支持設計高通和帶阻濾波器，如果要設計就必須滿足N是奇數才行。

​[左上]舉例說明：假設我們需要設計一個FIR低通濾波器，該濾波器性能指标如下：通帶歸一化頻帶wp=0.3（0.3*5000=1500Hz)，阻帶歸一化頻點wp=0.5(0.5*5000=2500Hz)，阻帶衰減不小于30dB，通帶紋波不高于3dB，并利用設計的低通濾波器對輸入的信号sin(2*pi*f1*t) sin(2*pi*f2*t)，其中f1=1KHz，f2=3.3KHz，采樣頻率fs=10KHz的信号進行濾波.

設計分析：根據要求，該FIR濾波器的阻帶衰減要大于30dB，那麼根據上面表格，我們就不能選擇像矩形窗這樣的窗函數，這裡我們可以選擇哈明窗，因為其第一旁瓣衰減有41dB滿足要求；由于過渡帶寬度為：0.5pi-0.3pi=0.2pi，那麼由此可以得到哈明窗的窗函數長度N=40。

觀察通過hamming窗後得到的濾波器頻響曲線符合設計要求，當我們利用加窗後的濾波器對我們的輸入進行濾波，得到的濾波結果如下圖所示：

可以看到濾波後，3.3KHz由于在濾波器通帶以外，固會被濾除，而1KHz由于位于通帶内部則保留了下來，同時可以看到選擇合适的窗函數類型，能夠取得更好的濾波器效果（例如上圖漢明窗和矩形窗的比較）。同時從上圖的濾波器時域輸出可以看到信号經過FIR濾波器後有一段固有的延遲，這個延遲長度就是我們之前說的群延遲為：N-1/2。

MATLAB中集成了fir1函數，其就是采用經典的窗函數的方法去進行FIR濾波器的設計，其調用格式為：

b=fir1(n,wn[,'ftype',window]

其中，n為要實現的FIR濾波器的階數，wn為相應FIR濾波器的截止頻率，範圍是0-1，'ftype'為濾波器類型，比如'high'代表高通，window為窗函數類型，其長度為n 1,默認采用哈明窗。

上面講的窗函數設計法是從時域的角度出發，那麼我們能否從頻域角度出發去設計我們需要的FIR濾波器呢？答案是肯定的。

頻率采樣法的目的也是希望構造出一個與理想濾波器頻率響應盡量逼近的物理可實現濾波器。

假設，理想濾波器的傳輸函數為：

如果對上面的連續頻譜進行采樣，由于離散信号的頻譜是周期的，固在0-2pi連續采樣N個點，那麼得到采樣後的離散頻譜為：

為了對理想頻譜采樣後，其時域響應h[n]滿足線性相位的要求，即：

根據第一節分析，當h[n]=h[N-1-n]，且N為奇數時，相應FIR濾波器的幅頻特性A(w)關于w=0,pi,2pi三點偶對稱；同理相應FIR濾波器的相位特性滿足下式：

利用頻率采樣法設計濾波器也十分簡單，其步驟為：

1）、根據設計FIR濾波器的設計指标，得到采樣後的FIR濾波器的頻域表示；

2）、根據反變換得到相應FIR濾波器的時域表示即可；

舉例說明：當我們利用頻率采樣法，對理想低通濾波器進行采樣，設計一個截止頻率為pi/5的低通濾波器，并比較不同的頻域采樣點數對結果的影響？

除了上面的設計方法外，還有其他很多最優的FIR濾波器設計辦法，在實際使用中，我們可以利用MATLAB提供的filterdesign進行FIR濾波器設計，具體設置界面如下圖所示，輸入自己的設計需求，工具就能自動生成你需要的FIR系數。

根據上面兩節原理介紹，我們知道一個FIR濾波器，其硬件實現上就是一系列的乘法及加法器結構，具體如下圖所示，可以看到最直觀的硬件實現對于N位的FIR濾波器，我們需要N個乘法器和N-1個加法器也即所謂的并行結構。

在實際硬件實現過程中可以根據實際需求對下面框圖進行變形，以設計出滿足硬件實現要求的FIR濾波器。

所謂的串型結構，就是對于上圖的結構我們硬件實現上隻有一個乘法器和一個加法器，輸入數據x[n]以fclk輸入到N bits移位寄存器組，而下面虛線框圖的乘法器和累加器工作在N*fclk時鐘下，即能夠保證在下一個x[n]輸入前，Nbit移位寄存器裡面的數據都進行了上圖所示的乘累加計算。這裡需要注意的是濾波器的輸出y[n]是以fclk輸出。這樣的結構的好處就是我們能夠以較少的硬件代價實現上圖所示的FIR濾波器。

根據3.1節的FIR濾波器結構，我們可以稍微變形，就會獲得轉置型FIR濾波器的實現，具體如下圖所示，與3.1節的直接型FIR相比，轉置型FIR沒有增加或者降低實際的硬件開銷（實際上轉置型FIR硬件開銷要大，因為其打拍的是乘法器輸出的結果，這點要注意），但是由于轉置型FIR濾波器減少了關鍵路徑延遲，固實際實現電路較直接型能夠收斂到更高的工作頻率上。

在實際硬件實現過程中，除了上面的方法還有很多其他方法，比如由于FIR濾波器的系數是對稱的，固我們是不是可以将相同的系數進行合并，那麼肯定能節省一定數量的硬件資源，還有譬如分布式（DA）算法等這裡不再贅述。