（A3）了解反函數和單調函數

上一篇我們介紹了反函數和單調函數，這屬于函數具有的性質範疇，就像人都具有兩隻手兩隻腳一樣，這次我們具體來了解下六大基本函數，這就像需要具體查看男女老少了，可以這麼說，既然要了解微積分，這六個基本函數無論如何繞不開，因為微積分處理的函數對象基本上都是由這六種演化而來的。

光看公式，不大有感覺，趕緊借助WA畫下圖，這裡我暫定a=2好了。

（1）常值函數：雖然簡單，但必不可少。我們的身高到了一定年齡後基本上就成了一個常值函數。坐标軸上對應的就是平行于x軸的一條直線。

（2）指數函數：還記得小時候有個故事嗎？一個地主分财産，小兒子說我隻需要鋪滿象棋格子的米粒就行，隻要按照這樣的規則：第一個格子放一粒，第二個格子放二粒，以後每個格子放的米粒數都是前一個格子的兩倍。财主想都沒想就答應了，等到實際分的時候就傻眼了。為什麼傻眼呢？我們來算算：象棋有64個格子，第一個格子放1粒，也就是2^0粒；第二個格子放2粒，也就是2^1粒;... ...最後一個格子要放2^63粒；所有米粒加起來就是一個等比數列求和S=2^0 2^1 ... 2^63=2^64；百度查了一下，一斤米大概50000粒，一噸米的話100000000粒，除一下的話，小兒子最後能夠得到1.8× 10^11噸，也就是1800億噸，這就是指數的力量！

另外，現在有一個講法叫做指數級增長，其實并不準确，還得加上底數大于1，如果小于1的話，就變成指數級衰減了。如下圖：

指數函數底a=2和a=1/2

Wolframalpha小貼士:如果隻是想畫出圖形看看，不想看其他的内容，可以使用plot y=2^x實現，如果想同時觀察兩個圖形，可以在兩個函數之間加上英文and，例如：plot 2^x and (1/2)^x。

（3）對數函數：上一篇我們講過了反函數，對數函數就是指數函數的反函數，我們已經知道互為反函數的兩個函數關于y=x對稱，如圖：

直觀上看，一個對數函數就一定對應着一個指數函數，那我們已經有了指數函數，為什麼還要創造一個對數函數呢？其實我們可以這樣看，對數函數和指數函數單調性是一緻的，并且十分相關，這就為解決計算提供了簡便的方法。舉個栗子：地球到太陽的距離是1.519*10^8km，轉換成自然對數值為18.839，一下子就将數字減小了不少，減小的意義在于大數計算時大大壓縮了計算時間，提高了效率，特别的，對數函數特有的計算規則，可以将乘除轉化成加減，這又大大提高了效率，一句話，對數函數在對付大數字時，就像一個壓縮器，把埃菲爾鐵塔壓縮成桌子上的模型，但卻沒有損失一點信息。

Wolframalpha小貼士:對數函數的底數可以直接log跟上數字即可，如以2為底的對數函數，可以輸入y=log2(x)，特别的自然對數，可以輸入y=ln(x)

（4）幂函數：幂函數的起源已經不可考，但是我們可以猜測，其一定是來源于實際情況，并且進行了擴展。我們需要數出一排x人，共x列，共有多少人，就是x的二次幂（也就是平方）。我們需要計算一間長寬高均是x米的房子有多少體積，就是x的三次幂（也就是立方）。這樣我們隻需要知道x，就有一個對應的幂結果，這也就成了幂函數。和指數函數一樣，底數不同，單調性和增減幅度差别很大，如圖：

這裡隻畫出了第一象限

Wolframalpha小貼士:對需要同時畫出很多函數圖形的情況，可以使用“{}”，比如上圖就是用了如下命令：plot {x^2,x^5,x^(1/2),x^(1/5),x^(-1/2),x^-2}，相當于省去了很多個and。

（5）三角函數：這是中學說過n遍的東西，它其實就是為了便于進行角度與邊長之間的計算，舉個栗子：太陽光以與地平呈30度角照射你，你身高1.8米，影子長就是1.8*cot30或者1.8*cot(Pi/6)。三角函數主要的就是四個：sinx、cosx、tanx，cotx。其實隻需要知道一個，就能夠推出其他三個，但為什麼還要搞出這另外三個呢？我們可以這樣理解，乘法不就是優化了的加法嗎？所以一切就是為了方便再方便而已。對于三角函數，強烈推薦使用單位圓輔助記憶及公式間推導。單位圓我會另作一篇進行介紹。三角函數講個曆史小故事：我們現在都叫的勾股定理或者畢達哥拉斯定理，其實早在西周就有個叫商高的人發現了，比畢達哥拉斯整整早了500年。

（6）反三角函數：和指數函數與對數函數一樣，反三角函數就是三角函數的反函數。主要也是四個：arcsinx、arccosx、arctanx、arccotx。可以這樣理解，三角函數是為了已知角度求邊長，反三角函數就是為了已知三角函數值求角度，前面的arc古代意思為弓弦，也就引申為弧度。需要什麼，就創造什麼，這就是曆史的規律。

可以看到，在WA中，arcsinx就是被解析成sinx的反函數

認識了這六個基本初等函數，下一篇就要進行下升華，從這六個基本初等函數變化出簡單初等函數和初等函數，而這些函數特有的優質特性，也是微積分利用到的，另外插一句，微積分之所以看重這六類基本初等函數，就是因為現實世界的抽象大都彙聚于此。

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（A5）認識下簡單初等函數和初等函數