函數y=[x]稱為取整函數，也稱高斯函數。其中不超過實數x的最大整數稱為x的整數部分，記作[x]。取整函數是高考中及其重要的題根，以其作為基本命題背景命制高考真題和模拟題，是高考中必考内容之一。該函數被廣泛應用于數論，函數繪圖和計算機領域。

取整函數的圖像

定義：記對應法則為f:x→不超過x的最大整數.

顯然，f是定義在全體實數集R的函數，而函數值是離散的。這個函數即為取整函數。為了方便，用[x]表示不超過x的最大整數，所以函數f又可記為f(x)=[x],一般地，有[x]≤x＜[x] 1

常見性質如下：

高斯函數是非常重要的數學概念。它的定義域是連續的,值域卻是離散的,高斯函數關聯着連續和離散兩個方面,因而有其獨特的性質和廣泛的應用，與微積分有着緊密聯系，在計算機編程中，在科學和工程上都有廣泛應用。

解決有關高斯函數的問題需要用到多種數學思想方法,其中較為常見的有分類讨論（例如對區間進行劃分）、命題轉換、數形結合、湊整、估值等等。

以下列舉高考中出現的取整函數的實例，有興趣的同學可以做一下：

1.（多選）（2021•錫山區校級三模）∀x∈R,[x]表示不超過x的最大整數,例如[﹣3.5]＝﹣4,[2.1]＝2.十八世紀,函數f（x）＝[x]被“數學王子”高斯采用,因此得名高斯函數,人們更習慣稱之為“取整函數”.則下列命題中是真命題的是（　　）

A.∃x∈R,x≥[x] 1 B.∀x,y∈R,[x] [y]≤[x y]

C.∀x∈R,x﹣1＜[x]＜x＜[x] 1 D.函數f（x）＝x﹣[x]的值域為[0,1）

2.高斯是德國著名的數學家,近代數學奠基者之一,享有“數學王子“的稱号,為了紀念數學家高斯,人們把函數y＝[x],x∈R稱為高斯函數,其中[x]表示不超過x的最大整數.設{x}＝x﹣[x],則函數f（x）＝2x{x}﹣x﹣1的所有零點之和為（　　）

A.﹣1 B.0 C.1 D.2

3.（2021•丹東一模）函數y＝[x]稱為取整函數,也稱高斯函數,其中[x]表示不超過實數x的最大整數,例如[1.2]＝1,[﹣1.2]＝﹣2等,該函數被廣泛應用于數學和計算機等領域,關于函數y＝[x],正确的結論是（　　）

A.[﹣x]＝﹣[x]﹣1 B.若x1＜x2,則[x1]≤[x2]

C.若0≤x＜1,則[x 0.5]＝[2x] D.[x1 x2]≤[x1] [x2]

4.（2020秋•遼甯期末）[x]表示不大于x的最大整數,設函數f（x）＝[x]﹣[﹣x]（　　）

A.f（x）為增函數 B.f（x）為奇函數

C.[f（x）]＝f（x） D.f（x 1）﹣f（x）＝2

5.（2016•新課标Ⅱ）Sn為等差數列{an}的前n項和，且a1＝1，S7＝28，記bn＝[lgan]，其中[x]表示不超過x的最大整數，如[0.9]＝0，[lg99]＝1．

（Ⅰ）求b1，b11，b101；

（Ⅱ）求數列{bn}的前1000項和．

當然要想真正地把高中數學學明白，甚至完全掌握。需要更加系統的訓練，題組訓練.高考數學進階教程，包含30個基本鐵律，24個基本模型，28個命題背景，當然還有壓軸題的解題方法等，衆多思想，方法，系統性地闡述了高考數學的本質，想要快速提分的朋友不妨了解一下