【2018年高考考綱解讀】

(1)函數的概念和函數的基本性質是B級要求，是重要題型 ；

(2)指數與對數的運算、指數函數與對數函數的圖象和性質都是考查熱點，要求都是B級；

(3)幂函數是A級要求，不是熱點題型 ，但要了解幂函數的概念以及簡單幂函數的性質。

【重點、難點剖析】

1．函數及其圖象

(1)定義域、值域和對應關系是确定函數的三要素，是一個整體，研究函數問題時務必須“定義域優先”．

(2)對于函數的圖象要會作圖、識圖和用圖，作函數圖象有兩種基本方法：一是描點法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換和對稱變換．

2．函數的性質

(1)單調性：單調性是函數在其定義域上的局部性質．證明函數的單調性時，規範步驟為取值、作差、變形、判斷符号和下結論．複合函數的單調性遵循“同增異減”的原則；

(2)奇偶性：奇偶性是函數在定義域上的整體性質．偶函數的圖象關于y軸對稱，在關于坐标原點對稱的定義域區間上具有相反的單調性；奇函數的圖象關于坐标原點對稱，在關于坐标原點對稱的定義域區間上具有相同的單調性；

(3)周期性：周期性也是函數在定義域上的整體性質．若函數滿足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，則其周期T＝ka(k∈Z)的絕對值．

3．求函數最值(值域)常用的方法

(1)單調性法：适合于已知或能判斷單調性的函數；

(2)圖象法：适合于已知或已作出圖象的函數；

(3)基本不等式法：特别适合于分式結構或兩元的函數；

(4)導數法：适合于可求導數的函數．

4．指數函數、對數函數和幂函數的圖象和性質

(1)指數函數y＝ax(a>0且a≠1)與對數函數y＝logax(a>0且a≠1)的圖象和性質，分0<a<1和a>1兩種情況，着重關注兩函數圖象中的兩種情況的公共性質；

(2)幂函數y＝xα的圖象和性質，分幂指數α>0和α<0兩種情況．

5．函數圖象的應用

函數的圖象和解析式是函數關系的主要表現形式，它們的實質是相同的，在解題時經常要互相轉化．在解決函數問題時，尤其是較為繁瑣的(如分類讨論，求參數的取值範圍等)問題時，要注意充分發揮圖象的直觀作用.

【題型示例 】

題型 1、函數的性質及其應用

【例1】 【2017北京，文5】已知函數，則

（A）是偶函數，且在R上是增函數

（B）是奇函數，且在R上是增函數

（C）是偶函數，且在R上是減函數

（D）是奇函數，且在R上是增函數

【答案】B

【解析】，所以該函數是奇函數，并且是增函數， 是減函數，根據增函數−減函數=增函數，可知該函數是增函數，故選B.

【舉一反三】【2016年高考四川文數】已知函數是定義在R上的周期為2的奇函數，當0＜x＜1時，，則= .

【答案】-2

【舉一反三】(1)(2015·重慶卷)函數f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定義域是(　　)

A．[－3,1]

B．(－3,1)

C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

(2)已知函數f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，則實數a的值為(　　)

A．－3 B．－1或3

C．1 D．－3或1

(1)答案：D

【方法技巧】

1．已知函數解析式，求解函數定義域的主要依據有：(1)分式中分母不為零；(2)偶次方根下的被開方數大于或等于零；(3)對數函數y＝logax(a＞0，a≠1)的真數x＞0；(4)零次幂的底數不為零；(5)正切函數y＝tan x中，x≠kπ＋(k∈Z)．如果f(x)是由幾部分的數學式子構成的，那麼函數的定義域是使各部分式子都有意義的自變量的集合．

根據函數求定義域時：(1)若已知函數f(x)的定義域為[a，b]，其複合函數f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函數f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域．

2．函數的值域是由函數的對應關系和函數的定義域所唯一确定的，具有相同對應關系的函數如果定義域不同，函數的值域也可能不相同．函數的值域是在函數的定義域上求出的，求解函數的值域時一定要與函數的定義域聯系起來，從函數的對應關系和定義域的整體上處理函數的值域．

題型 2、函數的圖象及其應用

【例2】【2017課标1，文8】函數的部分圖像大緻為

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由題意知，函數為奇函數，故排除B；當時， ，故排除D；當時， ，故排除A．故選C．

【感悟提升】(1)根據函數的解析式判斷函數的圖象，要從定義域、值域、單調性、奇偶性等方面入手，結合給出的函數圖象進行全面分析，有時也可結合特殊的函數值進行輔助推斷，這是解決函數圖象判斷類試題的基本方法．(2)研究函數時，注意結合圖象，在解方程和不等式等問題時，借助圖象能起到十分快捷的作用．

【舉一反三】(1)(2015·四川卷)函數y＝的圖象大緻是(　　)

(2)函數y＝f(x)的圖象如圖所示，在區間[a，b]上可找到n(n≥2)個不同的數x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，則n的取值範圍是(　　)

A.{3,4} B．{2,3,4}

C．{3,4,5} D．{2,3}

(1)答案：C

【方法技巧】

1．關于判斷函數圖象的解題思路

(1)确定定義域；

(2)與解析式結合研究單調性、奇偶性；

(3)觀察特殊值．

2．關于函數圖象應用的解題思路主要有以下兩點

(1)方程f(x)＝g(x)解的個數可以轉化為函數y＝f(x)與y＝g(x)交點的個數；

(2)不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))解集為函數y＝f(x)位于y＝g(x)圖象上方(下方)的那部分點的橫坐标的取值範圍．

【感悟提升】(1)指數函數、對數函數、幂函數是高考的必考内容之一，重點考查圖象、性質及其應用，同時考查分類讨論、等價轉化等數學思想方法及其運算能力．(2)比較數式大小問題，往往利用函數圖象或者函數的單調性．

【舉一反三】(2015·全國卷Ⅰ)若函數f(x)＝xln(x＋)為偶函數，則a＝________.

答案：1

【變式探究】(1)已知f(x)，g(x)分别是定義在R上的偶函數和奇函數，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)＝(　　)

A．－3　　　　B．－1 C．1　　　　D．3

(2)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，則實數a的取值範圍為(　　)

A. B.

C. D.

【命題意圖】(1)本題主要考查函數的解析式、奇偶性和求函數的值，意在考查考生的轉化思想和方程思想．求解此題的關鍵是用“－x”代替“x”，得出f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.

(2)本題主要考查奇函數的性質、分段函數以及函數的最值與恒成立問題，意在考查考生應用數形結合思想，綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力．

【答案】(1)C　(2)B

【方法技巧】

函數性質的綜合應用主要是指利用函數的單調性、奇偶性、周期性等性質來相互轉化解決相對綜合的問題．主要的解析：奇偶性主要轉化方向是f(－x)與f(x)的關系，圖象對稱問題；單調性主要轉化方向是最值、方程與不等式的解；周期性主要轉化方向是利用f(x)＝f(x＋a)把區間外的函數轉化到區間内，并結合單調性、奇偶性解決相關問題．

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