【2018年高考考綱解讀】
(1)函數的概念和函數的基本性質是B級要求,是重要題型 ;
(2)指數與對數的運算、指數函數與對數函數的圖象和性質都是考查熱點,要求都是B級;
(3)幂函數是A級要求,不是熱點題型 ,但要了解幂函數的概念以及簡單幂函數的性質。
【重點、難點剖析】
1.函數及其圖象
(1)定義域、值域和對應關系是确定函數的三要素,是一個整體,研究函數問題時務必須“定義域優先”.
(2)對于函數的圖象要會作圖、識圖和用圖,作函數圖象有兩種基本方法:一是描點法;二是圖象變換法,其中圖象變換有平移變換、伸縮變換和對稱變換.
2.函數的性質
(1)單調性:單調性是函數在其定義域上的局部性質.證明函數的單調性時,規範步驟為取值、作差、變形、判斷符号和下結論.複合函數的單調性遵循“同增異減”的原則;
(2)奇偶性:奇偶性是函數在定義域上的整體性質.偶函數的圖象關于y軸對稱,在關于坐标原點對稱的定義域區間上具有相反的單調性;奇函數的圖象關于坐标原點對稱,在關于坐标原點對稱的定義域區間上具有相同的單調性;
(3)周期性:周期性也是函數在定義域上的整體性質.若函數滿足f(a+x)=f(x)(a不等于0),則其周期T=ka(k∈Z)的絕對值.
3.求函數最值(值域)常用的方法
(1)單調性法:适合于已知或能判斷單調性的函數;
(2)圖象法:适合于已知或已作出圖象的函數;
(3)基本不等式法:特别适合于分式結構或兩元的函數;
(4)導數法:适合于可求導數的函數.
4.指數函數、對數函數和幂函數的圖象和性質
(1)指數函數y=ax(a>0且a≠1)與對數函數y=logax(a>0且a≠1)的圖象和性質,分0<a<1和a>1兩種情況,着重關注兩函數圖象中的兩種情況的公共性質;
(2)幂函數y=xα的圖象和性質,分幂指數α>0和α<0兩種情況.
5.函數圖象的應用
函數的圖象和解析式是函數關系的主要表現形式,它們的實質是相同的,在解題時經常要互相轉化.在解決函數問題時,尤其是較為繁瑣的(如分類讨論,求參數的取值範圍等)問題時,要注意充分發揮圖象的直觀作用.
【題型示例 】
題型 1、函數的性質及其應用
【例1】 【2017北京,文5】已知函數,則
(A)是偶函數,且在R上是增函數
(B)是奇函數,且在R上是增函數
(C)是偶函數,且在R上是減函數
(D)是奇函數,且在R上是增函數
【答案】B
【解析】,所以該函數是奇函數,并且是增函數, 是減函數,根據增函數−減函數=增函數,可知該函數是增函數,故選B.
【舉一反三】【2016年高考四川文數】已知函數是定義在R上的周期為2的奇函數,當0<x<1時,,則= .
【答案】-2
【舉一反三】(1)(2015·重慶卷)函數f(x)=log2(x2+2x-3)的定義域是( )
A.[-3,1]
B.(-3,1)
C.(-∞,-3]∪[1,+∞)
D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
(2)已知函數f(x)=若f(a)+f(1)=0,則實數a的值為( )
A.-3 B.-1或3
C.1 D.-3或1
(1)答案:D
【方法技巧】
1.已知函數解析式,求解函數定義域的主要依據有:(1)分式中分母不為零;(2)偶次方根下的被開方數大于或等于零;(3)對數函數y=logax(a>0,a≠1)的真數x>0;(4)零次幂的底數不為零;(5)正切函數y=tan x中,x≠kπ+(k∈Z).如果f(x)是由幾部分的數學式子構成的,那麼函數的定義域是使各部分式子都有意義的自變量的集合.
根據函數求定義域時:(1)若已知函數f(x)的定義域為[a,b],其複合函數f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出;(2)若已知函數f(g(x))的定義域為[a,b],則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a,b]時的值域.
2.函數的值域是由函數的對應關系和函數的定義域所唯一确定的,具有相同對應關系的函數如果定義域不同,函數的值域也可能不相同.函數的值域是在函數的定義域上求出的,求解函數的值域時一定要與函數的定義域聯系起來,從函數的對應關系和定義域的整體上處理函數的值域.
題型 2、函數的圖象及其應用
【例2】【2017課标1,文8】函數的部分圖像大緻為
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由題意知,函數為奇函數,故排除B;當時, ,故排除D;當時, ,故排除A.故選C.
【感悟提升】(1)根據函數的解析式判斷函數的圖象,要從定義域、值域、單調性、奇偶性等方面入手,結合給出的函數圖象進行全面分析,有時也可結合特殊的函數值進行輔助推斷,這是解決函數圖象判斷類試題的基本方法.(2)研究函數時,注意結合圖象,在解方程和不等式等問題時,借助圖象能起到十分快捷的作用.
【舉一反三】(1)(2015·四川卷)函數y=的圖象大緻是( )
(2)函數y=f(x)的圖象如圖所示,在區間[a,b]上可找到n(n≥2)個不同的數x1,x2,…,xn,使得==…=,則n的取值範圍是( )
A.{3,4} B.{2,3,4}
C.{3,4,5} D.{2,3}
(1)答案:C
【方法技巧】
1.關于判斷函數圖象的解題思路
(1)确定定義域;
(2)與解析式結合研究單調性、奇偶性;
(3)觀察特殊值.
2.關于函數圖象應用的解題思路主要有以下兩點
(1)方程f(x)=g(x)解的個數可以轉化為函數y=f(x)與y=g(x)交點的個數;
(2)不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))解集為函數y=f(x)位于y=g(x)圖象上方(下方)的那部分點的橫坐标的取值範圍.
【感悟提升】(1)指數函數、對數函數、幂函數是高考的必考内容之一,重點考查圖象、性質及其應用,同時考查分類讨論、等價轉化等數學思想方法及其運算能力.(2)比較數式大小問題,往往利用函數圖象或者函數的單調性.
【舉一反三】(2015·全國卷Ⅰ)若函數f(x)=xln(x+)為偶函數,則a=________.
答案:1
【變式探究】(1)已知f(x),g(x)分别是定義在R上的偶函數和奇函數,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,則f(1)+g(1)=( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
(2)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,當x≥0時,f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若∀x∈R,f(x-1)≤f(x),則實數a的取值範圍為( )
A. B.
C. D.
【命題意圖】(1)本題主要考查函數的解析式、奇偶性和求函數的值,意在考查考生的轉化思想和方程思想.求解此題的關鍵是用“-x”代替“x”,得出f(x)+g(x)=-x3+x2+1.
(2)本題主要考查奇函數的性質、分段函數以及函數的最值與恒成立問題,意在考查考生應用數形結合思想,綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力.
【答案】(1)C (2)B
【方法技巧】
函數性質的綜合應用主要是指利用函數的單調性、奇偶性、周期性等性質來相互轉化解決相對綜合的問題.主要的解析:奇偶性主要轉化方向是f(-x)與f(x)的關系,圖象對稱問題;單調性主要轉化方向是最值、方程與不等式的解;周期性主要轉化方向是利用f(x)=f(x+a)把區間外的函數轉化到區間内,并結合單調性、奇偶性解決相關問題.
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