“無窮小量”在數學史上具有舉足輕重的作用，在“第二次數學危機”中挽救了差點轟然倒塌的近代數學大廈。

“無窮小量”是一個極限為零的函數，是“數學分析”中的一個重要概念，常以函數、序列等形式出現。

具體來說，“無窮小量”就是“以0為極限”的變量，無限接近于0。

“無窮小量”的定義中的重點，在于“極限”二字，在“微積分”創立之初，就是因為“無窮小量”的定義含糊不清，與“極限”的概念産生了矛盾，導緻了“第二次數學危機”的發生，差點令剛剛建立起來的“微積分”被推翻。

其實早在2000多年以前的古希臘，“微積分”的雛形己經形成，阿基米德所創立的“逼近法”己經具備了“無限小分析”的特征。

直到17世紀晚期，牛頓和萊布尼茲正式創立了“無窮小演算”——微積分！

在《求積術》中，牛頓對y=x^n進行了論證。

在論證的第一步時，用“無窮小量”作為分母，進行除法運算，根據分數的定義：“分母不能為0”，所以從這一法則來看，這時的“無窮小量”是不為“0”的。

然而，牛頓在論證的第二步裡，又把“無窮小量”看作“0”，把所包含有“無窮小量”的項直接當作“0”直接去掉，通過論證得出了y=x^n的導數是nx^(n-1)

這些“強行獲得”的公式在“力學”和“幾何學”裡是正确的，對當時的科學技術有很大的推動作用。

但在數學的推導過程中卻出現了緻命的邏輯矛盾：無窮小量到底是“零”還是“非零”？

如果是零，怎麼能用它做除數？如果不是零，又怎麼能把包含着“無窮小量”的那些項當作“0”直接去掉呢？

這一無法解決的矛盾遭到了一些著名數學家的猛烈抨擊與反對，剛剛創立的“微積分”陷入了崩潰的邊緣。

直到19世紀，柯西用“分析的嚴格化”思想對“極限”理論進行了嚴格的定義。柯西認為解決“無窮小量”與“極限”矛盾的根源，就是要将“無窮小量”看作一個“變量”而不是“定量”。

因此柯西把“無窮小量”定義成“以零為極限的量”。

随後，“無窮小量”和“極限”的概念由柯西和“魏爾斯特拉斯”等人進行了嚴格的定義，被稱為“無窮小量與極限關系定理”，用通俗的話可以這樣描述：“極限”是無限地趨近于“某個值”，而“無窮小量”則是無限地趨向于“0”。

不久以後，随着“實數理論”和“集合論”的建立，“無窮小量”完全從“形而上學”思想的束縛中解放了出來，第二次數學危機徹底解決。

“無窮小量”的概念，在整個“近代數學大廈”當中，起到了一顆至關重要的镙絲釘的作用，如果沒有解決“無窮小量”與“極限”概念之間的矛盾，那麼“微積分”就會被推翻，近代數學的發展會陷入長久的停滞，人類輝煌燦爛的現代文明就會黯然失色。

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