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數學象限起源年代
數學象限起源年代
更新时间:2025-04-04 19:50:14

數學象限起源年代(挽救了差點轟然倒塌的近代數學大廈)1

“無窮小量”在數學史上具有舉足輕重的作用,在“第二次數學危機”中挽救了差點轟然倒塌的近代數學大廈。

“無窮小量”是一個極限為零的函數,是“數學分析”中的一個重要概念,常以函數、序列等形式出現。

具體來說,“無窮小量”就是“以0為極限”的變量,無限接近于0。

“無窮小量”的定義中的重點,在于“極限”二字,在“微積分”創立之初,就是因為“無窮小量”的定義含糊不清,與“極限”的概念産生了矛盾,導緻了“第二次數學危機”的發生,差點令剛剛建立起來的“微積分”被推翻。

其實早在2000多年以前的古希臘,“微積分”的雛形己經形成,阿基米德所創立的“逼近法”己經具備了“無限小分析”的特征。

數學象限起源年代(挽救了差點轟然倒塌的近代數學大廈)2

直到17世紀晚期,牛頓和萊布尼茲正式創立了“無窮小演算”——微積分!

在《求積術》中,牛頓對y=x^n進行了論證。

在論證的第一步時,用“無窮小量”作為分母,進行除法運算,根據分數的定義:“分母不能為0”,所以從這一法則來看,這時的“無窮小量”是不為“0”的。

然而,牛頓在論證的第二步裡,又把“無窮小量”看作“0”,把所包含有“無窮小量”的項直接當作“0”直接去掉,通過論證得出了y=x^n的導數是nx^(n-1)

數學象限起源年代(挽救了差點轟然倒塌的近代數學大廈)3

這些“強行獲得”的公式在“力學”和“幾何學”裡是正确的,對當時的科學技術有很大的推動作用。

但在數學的推導過程中卻出現了緻命的邏輯矛盾:無窮小量到底是“零”還是“非零”?

如果是零,怎麼能用它做除數?如果不是零,又怎麼能把包含着“無窮小量”的那些項當作“0”直接去掉呢?

這一無法解決的矛盾遭到了一些著名數學家的猛烈抨擊與反對,剛剛創立的“微積分”陷入了崩潰的邊緣。

數學象限起源年代(挽救了差點轟然倒塌的近代數學大廈)4

直到19世紀,柯西用“分析的嚴格化”思想對“極限”理論進行了嚴格的定義。柯西認為解決“無窮小量”與“極限”矛盾的根源,就是要将“無窮小量”看作一個“變量”而不是“定量”。

因此柯西把“無窮小量”定義成“以零為極限的量”。

随後,“無窮小量”和“極限”的概念由柯西和“魏爾斯特拉斯”等人進行了嚴格的定義,被稱為“無窮小量與極限關系定理”,用通俗的話可以這樣描述:“極限”是無限地趨近于“某個值”,而“無窮小量”則是無限地趨向于“0”。

不久以後,随着“實數理論”和“集合論”的建立,“無窮小量”完全從“形而上學”思想的束縛中解放了出來,第二次數學危機徹底解決。

數學象限起源年代(挽救了差點轟然倒塌的近代數學大廈)5

“無窮小量”的概念,在整個“近代數學大廈”當中,起到了一顆至關重要的镙絲釘的作用,如果沒有解決“無窮小量”與“極限”概念之間的矛盾,那麼“微積分”就會被推翻,近代數學的發展會陷入長久的停滞,人類輝煌燦爛的現代文明就會黯然失色。

小夥伴們,你們對此有什麼看法呢?歡迎留言讨論。

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