初識非負數

【閱讀與思考】

絕對值是初中代數中的一個重要概念，引入絕對值概念之後，對有理數、相反數以及後續要學習的算術根可以有進一步的理解；絕對值又是初中代數中的一個基本概念，在求代數式的值、代數式的化簡、解方程與解不等式時，常常遇到含有絕對值符号的問題，理解、掌握絕對值概念應注意以下幾個方面：

【例題與求解】

【解析】

先根據a，b，c均為整數，得出a-b和a-c均為整數，根據有理數乘方的法則得出關于a、b、c的方程組，求出a、b、c之間的關系，用a表示出b、c，代入原式進行計算.

【小結】

本題考查的是有理數的乘方及絕對值的性質，能根據有理數的乘方及絕對值的性質得出a、b、c之間的關系式解答此題的關鍵.

【點評】

本題主要考查了非負數的性質:有限個非負數的和為零,那麼每一個加數也必為零.同時考查了運用運算律使計算簡便,該題有一定難度.

【解析】

根據abc>0與abc<0兩種情況分類讨論，分别求出原式的值即可.

【點評】

此題考查了有理數的除法，絕對值，以及有理數的乘法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

【點評】

本題考查了絕對值的意義及最值問題，首先明确數a的絕對值一定是非負數，其次要知道S的最小值就是相鄰數相減，從而得出結論.

【點評】

此題考查了非負數的性質及絕對值的性質，利用絕對值的性質去絕對值是解題的關鍵，要注意分類讨論.

【A級能力訓練】

方法一：

方法二：

【解析】

有理數m，n，p滿足|m|/m |n|/n |p|/p=1，所以m、n、p≠0，根據絕對值的性質，本題可分三種情況:

①當m>0，n>0，p<0時；②當m>0，n<0，p>0時；

③當m<0，n>0，p>0時，根據以上三種情形分類解答.

【點評】

本題綜合考查了絕對值的性質，能夠根據已知條件正确地判斷出m、n、p的值是解答此題的關鍵.

【解析】

根據有理數a、b、c在數軸上的對應位置，即可确定大小關系，從而判斷絕對值内的式子的符号，即可去掉絕對值，從而把式子進行化簡.

【點評】

此題綜合考查了數軸、絕對值的有關内容，用幾何方法借助數軸來求解，非常直觀，且不容易遺漏，體現了數形結合的優點.

【解析】

根據絕對值的定義可先判斷出b的範圍，進而判斷出a的範圍，相乘即可.

【點評】

考查絕對值的相關計算；判斷出a，b的範圍是解決本題的難點.

【解析】

根據數軸上的數，右邊的數總是大于左邊的數，即可得到a，b的大小關系，再利用有理數的運算法則以及絕對值的性質分别進行判斷.

【點評】

此題主要考查了絕對值的性質以及數軸上的數:右邊的數總:是大于左邊的數，從而确定a，b的大小關系，并且考查了有理數的運算法則.

【解析】

先根據絕對值的性質求出a、b的值，再根據有理數的減法運算法則進行計算即可得解.

【點評】

本題考查了有理數的減法，絕對值的性質，有理數的加法，熟練掌握運算法則和性質并确定出a、b的值是解題的關鍵.

【解析】

分m≥0、m<0分别化簡原式可得.

【點評】

本題主要考查絕對值，熟練掌握絕對值的定義和性質是解題的關鍵.

【解析】

含絕對值的式子，在去絕對值時要考慮式子的符号.若大于等于0，可直接去絕對值；若小于0，去絕對值時原式要乘以-1.由此可得x-2≤0，再解此不等式即可.

【點評】

本題考查了絕對值和不等式的性質.含絕對值的式子，在去絕對值時要考慮式子的符号.若大于等幹0可直接去絕對值；小于0，去絕對值時原式要乘以-1.

【解析】

分兩種情況讨論:

(1)當a-b≥0時，由|a-b|=a b得a-b=a b，所以b=0.

(2)當a-b<0時，由|a-b|=a b得-(a-b)=a b，所以a=0.從而選出答案.

【點評】

本題考查了絕對值的性質，是基礎知識比較簡單.

【解析】

根據la-b|≤9，|c-d|≤16，且la-b-c dl=25，可知|a-b|=9，|c-d|=16，且a-b和c-d的符号是相反的，然後分兩種情況讨論即可.

【點評】

本題主要考查絕對值，解決此題時，關鍵在于确定出a-b和c-d的值，根據其值計算即可.

初識非負數

【B級能力訓練】

【解析】

先根據非負數的性質求出a，b的值，再代入分式進行計算即可.

【點評】

本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵.

【解析】

根據數軸确定出a的絕對值大于1，然後列式求出a的值，再代入代數式進行計算即可得解.

【點評】

本題考查了絕對值的性質，數軸的知識，是基礎題，根據數軸判斷出a與1的絕對值的大小是解題的關鍵.

【解析】

由ab>0得a、b同号，分兩種情況讨論:①a>0，b>0；②a<0，b<0.

【點評】

本題考查了絕對值的性質，正數的絕對值等于本身；負數的絕對值等于它的相反數.

【解析】

根據絕對值和偶次方的性質，可以求出x，y的值，把x，y的值代入代數式求出代數式的值.

【點評】

本題考查的是用因式分解法解一元二次方程，根據偶次方和絕對值的性質，得到一元二次方程，用因式分解法解方程，求出x，y的值，再把求出的值代入代數式計算.

【解析】

根據x的範圍化簡|x-p| |x-15| |x-p-15|為30-x，再結合x的範圍，求得它的最小值.

【點評】

本題主要考查絕對值不等式的解法，求函數的最值.屬于基礎題.

【解析】

由于0≤a≤4，則a-2及3-a的符号不能确定，故應分類讨論出a-2及3-a的符号，再由絕對值的性質求出所求代數式的值即可.

【點評】

本題考查的是絕對值的性質，在解答此題時要注意應用分類讨論的思想，不要漏解.

【解析】

當a、b的符号相反或其中的一個為0時，|a-b|=la| |b|成立，由此可得結論.

【點評】

本題主要考查絕對值不等式的性質，屬于基礎題.