一、将正四面體補成正方體

例1 如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB=2CD=2，∠DAB=60°，E為AB的中點，将△ADE與△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點P，則三棱錐P—DCE的外接球的體積為

A.

B.

C.

D.

解析：根據題意折疊後的三棱錐P—DCE為正四面體，且棱長為1。以此正四面體來構造正方體，使正四面體的各棱分别是正方體各面的對角線，如圖2。則正方體的棱長為

，正方體的對角線也即正方體外接球的直徑的長為

。又正方體的外接球也為正四面體的外接球，所以外接球的半徑為

。

所以，

故選C。

二、将三棱錐補成正方體

例2 如圖3，l₁、l₂是相互垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段。點A、B在l₁上，AM=MB=MN。

（I）證明AC⊥NB；

（II）若∠ACB=60°，求NB與平面ABC所成角的餘弦值。

解析：（I）證明略。

（II）由（I）及∠ACB=60°，可知NA、NB、NC兩兩垂直且相等，故可将三棱錐C—ABN補成正方體NASB—CQPR，如圖4所示。連結PN，由RN⊥BC，知PN⊥BC。同理，PN⊥AC。

所以PN⊥平面ABC。設垂足為O，則∠OBN就是NB與平面ABC所成角。

設正方體棱長為1，則

由sin∠OBN

，得cos∠OBN=

三、将三棱柱補成正方體

例3 如圖5，在直三棱柱

中，AB=BC，D、E分别為BB₁、AC₁的中點。

（I）證明：ED為異面直線BB₁與AC₁的公垂線；

（II）設AA₁=AC=

，求二面角A₁—AD—C₁的大小。

解析：（1）證明略。

（2）由題設AA₁=AC=，可知

為正方形，∠ABC=90°。

将棱柱補成正方體，如圖6所示。易知所求二面角

恰是二面角

的一半。作正方體的截面

。由圖知

，

，所以

。

同理，

。

于是∠

是二面角

的平面角的補角。而△是正三角形，∠=60°，故二面角為120°，從而二面角是60°。

四、由共點且兩兩垂直的三條相等線段構造正方體

例4 如圖7，在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD中，∠ABC=90^o，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=

。

（I）求四棱錐S—ABCD的體積；

（II）求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值。

解析：延長AD到E，使DE=AD，以AE、AB、AS為棱構造正方體，如圖8所示。則有：

圖8

（I）

（II）延長CD、BA相交于F，連結SF，易知SF//AB'。又可知AB'⊥面CBS，所以SF⊥面SBC，故∠BSC為面SCD與面SBA所成的角。

在直角△SBC中，SB=

從而tan∠BSC=

五、由共邊且互相垂直的兩個正方形面構造正方體

例5 如圖9，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=a（0<a<< span="">）。</a<<>

（I）求MN的長；

（II）當a為何值時，MN的長最小；

（III）當MN長最小時，求面MNA與面MNB所成的二面角α的大小。

解析：（I）與（II）略。

（III）以正方形ABCD、ABEF為相鄰面構造正方體如圖10所示，面MNA與面MNB所成的角，即面ACE與面CF'E所成的角的補角（因為面MNB//面CF'E）。

在正四面體ACEF'中，易求相鄰面所成的二面角的餘弦為

。

所以二面角A—MN—B的平面角為

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