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今天我們要講的是不定積分的求解方法，希望大家能夠認真學習。

一、換元法

1.第一類換元法： 形如∫g(x)dx=∫f［z(x)］z′(x)dx=［∫f(u)du］ 其中u=z(x)

例題

2.第二類換元法(需要令t)

（一）、根号内隻有一次項和常數項的二次根式

方法：将根号整體換元來脫根号

例題：

（二）、根号内隻有二次項和常數項的二次根式 (a為常數項) 方法：

4.如被積函數中含有 √x²±a²還可試令x=sh t或x=ch t 其中（∫sh xdx=ch x＋C ∫ch xdx=sh x＋C）

例題①

②

③

④

（三）、根式内為一般二次多項式的二次根式。

方法：将根式内配方化為根号内隻有二次項和常數項。

例題：

（四）、以下兩種情況：

例題⑤

例題⑥

（五）、如果被積函數為商形式，且分子次數比分母小，可試用倒代換，令x=1/t

例題：

二、分部積分法

分部積分公式：∫udv=uv－∫vdu

使用分部積分法的常見類型：

(1)∫ 幂x指數dx 選 指數dx=dv

(2)∫ 幂x對數dx 選 幂dx=dv

(3)∫ 幂x三角函數dx 選 三角函數dx=dv

（如果sinx cosx遇到二次,半角公式化為一次。如果遇到三次，則先湊微分再用分部積分。secx tanx cotx cscx必須偶次）

（4）∫ 幂x反三角函數dx 選 幂dx=dv

(5)∫ 指數x三角函數dx (根據情況而定)

(6)∫secⁿxdx和∫cscⁿxdx(n為偶次時不需要用分部積分法)

綜上選擇誰U誰V，看誰求導簡單，誰求導簡單就取為U，反之為V。例如多項式x和三角函數cosx相乘，很明顯對于多項式x更容易求導，因此我們選擇多項式x做為U。

三、有理函數的不定積分

本方法來自華東師範大學數學系編《數學分析·上冊》（第三版），190頁.

看幾個例題(知識有限，具體方法下次總結)

四、三角函數中的積分技巧

1.在計算∫sin²ⁿ⁺¹xdx或∫cos²ⁿ⁺¹xdx時，一般将積分∫sin²ⁿ⁺¹xdx化成－∫(1-cos²)ⁿd(cosx)，将積分∫cos²ⁿ⁺¹xdx化成∫(1-sin²)ⁿd(sinx)來進行計算。

2.在計算積分∫sin²ⁿxdx或∫cos²ⁿxdx時，一般利用倍角公式進行降幂計算。

3.在計算積分∫sin(ax)cos(Bx)dx，∫sin(ax)sin(Bx)dx，∫cos(ax)cos(Bx)dx時，一般利用積化和差公式對被積函數進行變形後再計算。

4.形如∫R(sinx，cosx)dx時，一般用萬能代換法，令t=tanx/2。

例題

5.若有R(cosx，sinx)dx=R(－cosx，－sinx)dx，可令t=tanx；

若有R(－sinx，cosx)dx=－R(－sinx，cosx)dx，可令cosx=t；

若有R(sinx，－cosx)dx=－R(sinx，cosx)dx，可令sinx=t。

例題

另外還可以利用積分表來快速的求出一些原函數。

• 哲學上說矛盾是具有普遍性的，因此我們要具體問題具體分析。求解不定積分的方法并不是拘泥于以上幾種，我們做題時應該從題目本身的條件出發，采取靈活多變的解題方法。

參考文獻（Rreference）：

·［1］華東師範大學數學系.數學分析（上冊）［M］.北京：高等教育出版社，2001.6

·［2］吉米多維奇等.數學分析習題集［M］.北京：高等教育出版社，2010.7

·［3］同濟大學數學系.高等數學（上冊）［M］.北京：高等教育出版社，2014.7

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