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文章來源：呼和浩特中小學數學（hhhtshuxue），謝謝合作！

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今天給初一的同學整理了“平面直角坐标系”的相關知識點總結，這一章内容難度不大，關鍵是同學們需要掌握好各個知識點的細節，對于以後同學們學習函數，奠定基礎！

1 平面直角坐标系

在平面内畫兩條互相垂直、原點重合的數軸就組成平面直角坐标系。水平的數軸稱為x軸或橫軸，習慣上取向右為正方向；豎直的數軸稱為y軸或縱軸，取向上方向為正方向，兩坐标軸的交點為平面直角坐标系的原點　　注：我們在畫直角坐标系時，要注意兩坐标軸是互相垂直的，且有公共原點，通常取向右與向上的方向分别為兩坐标軸的正方向。平面直角坐标系是由兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成的。

11平面上兩點間的距離公式

⑴設

，

，

則

。

特别地，

當

⊥x軸時，

;

當

⊥y軸時，

。

⑵.線段的中點坐标公式

設

，

，線段

的中點M(x,y)，

則

。

12點的平移特征

在平面直角坐标系中，

将點（x,y）向右平移a個單位長度，可以得到對應點（ x-a，y）；

将點（x,y）向左平移a個單位長度，可以得到對應點（x a ，y）；

将點（x,y）向上平移b個單位長度，可以得到對應點（x，y＋b）；

将點（x,y）向下平移b個單位長度，可以得到對應點（x，y－b）。

注意：對一個圖形進行平移，這個圖形上所有點的坐标都要發生相應的變化；反過來，從圖形上點的坐标的加減變化，我們也可以看出對這個圖形進行了怎樣的平移。

能力提升類

例1 已知：點

，且點

到兩坐标軸的距離相等，求

點坐标。

一點通：點到坐标軸的距離表示長度，加絕對值列方程。

解：

解得，

所以，

點坐标為

或

。

點評：本題容易忽視距離的表示，造成丢解。

例2 已知點

，那麼點M在平面直角坐标系中的什麼位置？

一點通：點M的橫坐标中含有平方項，要考慮平方的非負性；點M的縱坐标需讨論n的大小，并比較與0的關系。

解：

根據分類讨論：

當

時，點M在第一象限；

當

時，點M在x軸的正半軸上；

當

時，點M在第四象限。

點評：判斷點M在平面直角坐标系中的位置，讨論點的橫、縱坐标與0的關系。

例3 已知點A、B、C的坐标分别為（－5，0）、（3，0）、（1，4），利用結論求線段AC、BC的中點D、E的坐标，并判斷DE與AB的位置關系。（提示：若點P、Q的坐标是（x1，y1）、（x2，y2），則線段PQ中點的坐标為

。）

一點通：根據所給的中點公式，求中點D、E的坐标，位置關系可以考慮平行或垂直等特殊情況。

解：由“中點公式”得

因為DE為△ABC的中位線，所以DE∥AB。

點評：本題參照所給的中點公式結合書本的知識解題，是一類探求新知的問題。

綜合運用類

例4 在平面直角坐标系中，橫坐标、縱坐标都為整數的點稱為整點。觀察圖中每一個正方形（實線）四條邊上的整點的個數，請你猜測由裡向外第10個正方形（實線）四條邊上的整點個數共有_______個，第n個正方形（實線）四條邊上的整點個數共有______個。

一點通：由裡向外第1個正方形（實線）四條邊上的整點個數是4個，

第2個正方形（實線）四條邊上的整點個數是8個，

第3個正方形（實線）四條邊上的整點個數是12個，

發現規律為4的倍數關系……

解：第10個正方形（實線）四條邊上的整點個數共有4×10=40個；

第n個正方形（實線）四條邊上的整點個數共有4×n=4n個；

點評：發現規律是解此類題的關鍵。

例5 這是一個動物園遊覽示意圖，試設計描述這個動物園圖中每個景點位置的一個方法，并畫圖說明。

一點通：以動物園的南門為坐标原點，建立平面直角坐标系。

解：如圖，建立平面直角坐标系。

所以，兩栖動物館A（4，1），飛禽館B（3，4），獅子館C（－4，5），馬館D（－3，－3）。

點評：本題是經常出現的一類題，正确地建立直角坐标系是解題的關鍵。

思維拓展類

例6 在平面直角坐标系中，已知：

在x軸上确定點C，使得

最小。

一點通：作點B關于x軸的對稱點B'，連接

與x軸的交點為所求點C。

解：如圖，作點B關于x軸的對稱點B'，連接

，其與x軸的交點為C。

所以點C坐标為：

點評：本題是求兩條線段和最小的問題，通常先考慮找對稱點的方法解題。

例7 如圖是一台雷達探測相關目标得到的結果，若記圖中目标A的位置為（2，90°），稱為點A的極坐标，根據上述表達出B、C、D、E各目标的位置分别是多少？

一點通：參考圖中目标A的位置為（2，90°），點A在坐标的第二圈，橫坐标标志為2，在90°角的方向上，縱坐标為90°。

解：點B在第5圈，30°角的方向上，所以B（5，30°）；

點C在第4圈，240°角的方向上，所以C（4，240°）；

點D在第3圈，300°角的方向上，所以D（3，300°）；

點E在第6圈，120°角的方向上，所以E（6，120°）。

點評：本題為探求新知類問題，一定要參考所給的知識方法解題。

例8 如圖，四邊形ABCD各個頂點的坐标分别為：A（–2，8），B（– 11，6），C（– 14，0），D（0，0）。

（1）确定這個四邊形的面積；

（2）如果把原來ABCD各個頂點的縱坐标保持不變，橫坐标增加2，所得的四邊形面積又是多少？

一點通：求不規則圖形的面積，考慮割補法。

解：将四邊形分别割成直角三角形和長方形。

（1）S△ABE=9，S△BCG=9，S△AFO=8，S長方形BEFG=54，

所以S四邊形ABCD=S△ABE S△BCG S△AFO S長方形BEFG=80。

（2）如果把原來ABCD各個頂點的縱坐标保持不變，橫坐标增加2，圖形的大小和形狀都不改變，僅是位置發生了變化，所以四邊形的面積仍為80。

點評：本題主要考查割補法這一解題方法，同學們思考一下是否還有其它的割補方法嗎？

1. 點到x軸、y軸的距離易混淆。

2. 分清x軸、y軸上的點的特征。

3. 求不規則的三角形或四邊形的面積時多考慮割補法。

4. 坐标的左、右和上、下平移，确定點的變化規律和方法。

5. 找規律問題，采用滲透觀察、歸納、類比、概括的方法和數形結合的思想方法解題。

将正整數按如圖所示的規律排列下去，若有序實數對（n，m）表示第n排，從左到右第m個數，如（4，2）表示9，則表示58的有序數對是（）

A. （11，3） B. （3，11） C. （11，9） D. （9，11）

一點通：根據排列規律可知從1開始，第N排排N個數，呈蛇形順序接力，第1排1個數；第2排2個數；第3排3個數；第4排4個數，根據此規律即可得出結論。

解：根據圖中所揭示的規律可知，1 2 3 4 5 6 7 8 9 10=55，所以58在第11排；偶數排從左到右由大到小，奇數排從左到右由小到大，所以58應該在11排的從左到右第3個數。故選A。

點評：主要考查了學生讀圖找規律的能力，能從數列中找到數據排列的規律是解題的關鍵。

（答題時間：60分鐘）

一、選擇題

1. 在平面直角坐标系中，點（－2，4）所在的象限是（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 點A（5，y1）和B（2，y2）都在直線y＝－x上，則y1與y2的關系是（ ）

A. y1≥y2 B. y1＝ y2 C. y1 ＜y2 D. y1＞y2

3. 一束光線從點A（3，3）出發，經過ｙ軸上的點Ｃ反射後經過點Ｂ（1，0），則光線從A點到Ｂ點經過的路線長是（）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

4. 已知點A（2，0）、點B（－

，0）、點C（0，1），以A、B、C三點為頂點畫平行四邊形。則第四個頂點不可能在（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

5. 某二元方程的解是

，若把x看作平面直角坐标系中點的橫坐

标，y看作平面直角坐标系中點的縱坐标，下面說法正确的是（ ）

A. 點（x，y）一定不在第一象限 B. 點（x，y）一定不是坐标原點

C. y随x的增大而增大 D. y随x的增大而減小

6. 如圖所示，小穎從家到達蓮花中學要穿過一個居民小區，若小區的道路均是正南或正東方向，小穎走下面哪條線路不能到達學校（ ）

A. （0，4）→（0，0）→（4，0）

B. （0，4）→（4，4）→（4，0）

C. （0，4）→（1，4）→（1，1）→（4，1）→（4，0）

D. （0，4）→（3，4）→（4，2）→（4，0）

二、填空題

1. 點P（－1, 3 ）關于原點對稱的點的坐标是。

2. 已知點A（a，－3）和B（2，3）關于原點對稱，則a＝_____________。

3. 如果點P（）關于原點的對稱點為（－2，3），則x y。

4. 在直角坐标系中，O為坐标原點，已知點A（1，1），在x軸上确定點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點P的個數共有個。

*5. 在平面直角坐标系中，點A是y軸上一點，若它的坐标為（a－1，a＋1），另一點B的坐标為（a＋3，a－5），則點B的坐标是。

三、解答題（共60分）

*1. 已知直角梯形上底長2cm，下底長5cm，另一個底角為30°，建立适當直角坐标系并寫出右面圖形的四個頂點的坐标，求出梯形的面積。

2. 下面的方格紙中，畫出了一個“小豬”的圖案，已知每個小正方形的邊長為1。

（1）“小豬”所占的面積為多少？

（2）在方格紙中作出“小豬”關于直線DE對稱的圖案（隻畫圖，不寫作法）；

（3）以G為原點，GE所在直線為x軸，GB所在直線為y軸，小正方形的邊長為單位長度建立直角坐标系，可得點A的坐标是（_______，_______）。

3. 請同學們在下邊的同一個直角坐标系中，畫出兩個形狀相同，但面積不等的三角形。

**4. 一隻兔子沿OP（北偏東30°）的方向向前跑。已知獵人在Q（1，）點挖了一口陷阱，問：如果兔子繼續沿原來的方向跑，有沒有危險？為什麼？

一、選擇題

1. B 2. C 3. B 4. C 5. B 6. D

二、填空題

1. （1,－3） 2. －2 3. －1 4. 4 5. （4，－4）

三、解答題

1. A（0,0）,D（5,0）,B（0,

   

   ）,C（2,

   

   ）；坐标系略；

   

   2. （1）21.5

（2）

（3）（－4，1）

3. 答案不唯一，如圖：

4.有危險，因O、P、Q三點在同一直線上.

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