集合的概念與表示教學?第2課時　集合的表示學 習 目 标，我來為大家講解一下關于集合的概念與表示教學?跟着小編一起來看一看吧!

集合的概念與表示教學

第2課時　集合的表示

1．列舉法

把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括号“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．

2．描述法

一般地，設A是一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．

思考：(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什麼共同特征？

(2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？

提示：(1)元素的共同特征為x∈R，且x<5.

(2){x|x<5，x∈R}．

1．方程x2＝4的解集用列舉法表示為(　　)

A．{(－2,2)}　　 B．{－2,2}

C．{－2} D．{2}

B　[由x2＝4得x＝±2，故用列舉法可表示為{－2,2}．]

2．用描述法表示函數y＝3x＋1圖象上的所有點的是(　　)

A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1}

C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1}

C　[該集合是點集，故可表示為{(x，y)|y＝3x＋1}，選C.]

3．用描述法表示不等式4x－5<7的解集為________．

{x|x<3}　[用描述法可表示為{x|x<3}．]

用列舉法表示集合

【例1】　用列舉法表示下列給定的集合：

(1)不大于10的非負偶數組成的集合A；

(2)小于8的質數組成的集合B；

(3)方程2x2－x－3＝0的實數根組成的集合C；

(4)一次函數y＝x＋3與y＝－2x＋6的圖象的交點組成的集合D.

[解]　(1)不大于10的非負偶數有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}．

(2)小于8的質數有2,3,5,7，

所以B＝{2,3,5,7}．

(3)方程2x2－x－3＝0的實數根為－1，，

所以C＝.

(4)由得

所以一次函數y＝x＋3與y＝－2x＋6的交點為(1,4)，

所以D＝{(1,4)}．

用列舉法表示集合的3個步驟

(1)求出集合的元素；

(2)把元素一一列舉出來，且相同元素隻能列舉一次；

(3)用花括号括起來.

提醒：二元方程組的解集，函數圖象上的點構成的集合都是點的集合，一定要寫成實數對的形式，元素與元素之間用“，”隔開.如{(2，3)，(5，－1)}.

1．用列舉法表示下列集合：

(1)滿足－2≤x≤2且x∈Z的元素組成的集合A；

(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解組成的集合M；

(3)方程組的解組成的集合B；

(4)15的正約數組成的集合N.

[解]　(1)滿足－2≤x≤2且x∈Z的元素有－2，－1,0,1,2，故A＝{－2，－1,0,1,2}．

(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解為x＝2或x＝3，

∴M＝{2,3}．

(3)解得∴B＝{(3,2)}．

(4)15的正約數有1,3,5,15，故N＝{1,3,5,15}．

用描述法表示集合

【例2】　用描述法表示下列集合：

(1)比1大又比10小的實數組成的集合；

(2)平面直角坐标系中第二象限内的點組成的集合；

(3)被3除餘數等于1的正整數組成的集合．

[解]　(1){x∈R|1<x<10}．

(2)集合的代表元素是點，用描述法可表示為{(x，y)|x<0，且y>0}．

(3){x|x＝3n＋1，n∈N}．

描述法表示集合的2個步驟

2.

用描述法表示下列集合：

(1)函數y＝－2x2＋x圖象上的所有點組成的集合；

(2)不等式2x－3<5的解組成的集合；

(3)如圖中陰影部分的點(含邊界)的集合；

(4)3和4的所有正的公倍數構成的集合．

[解]　(1)函數y＝－2x2＋x的圖象上的所有點組成的集合可表示為{(x，y)|y＝－2x2＋x}．

(2)不等式2x－3<5的解組成的集合可表示為{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．

(3)圖中陰影部分的點(含邊界)的集合可表示為.

(4)3和4的最小公倍數是12，因此3和4的所有正的公倍數構成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．

,

集合表示方法的綜合應用

[探究問題]

下面三個集合：

①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．

(1)它們各自的含義是什麼？

(2)它們是不是相同的集合？

提示：(1)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，滿足條件y＝x2＋1中的x∈R，所以實質上{x|y＝x2＋1}＝R；

集合②的代表元素是y，滿足條件y＝x2＋1的y的取值範圍是y≥1，所以實質上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；

集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以認為是滿足y＝x2＋1的數對(x，y)的集合，也可以認為是坐标平面内的點(x，y)構成的集合，且這些點的坐标滿足y＝x2＋1，所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物線y＝x2＋1上的點}．

(2)由(1)中三個集合各自的含義知，它們是不同的集合．

【例3】　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中隻有一個元素，求實數k的值組成的集合．

[思路點撥]　

[解]　(1)當k＝0時，方程kx2－8x＋16＝0變為－8x＋16＝0，解得x＝2，滿足題意；

(2)當k≠0時，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中隻有一個元素，則方程kx2－8x＋16＝0隻有一個實數根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此時集合A＝{4}，滿足題意．

綜上所述，k＝0或k＝1，故實數k的值組成的集合為{0,1}．

1．(變條件)本例若将條件“隻有一個元素”改為“有兩個元素”，其他條件不變，求實數k的值組成的集合．

[解]　由題意可知，方程kx2－8x＋16＝0有兩個不等實根，故即k<1且k≠0.

所以實數k組成的集合為{k|k<1且k≠0}．

2．(變條件)本例若将條件“隻有一個元素”改為“至少有一個元素”，其他條件不變，求實數k的取值集合．

[解]　由題意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一個實數根．

①當k＝0時，由－8x＋16＝0得x＝2，符合題意；

②當k≠0時，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一個實數根，則Δ＝64－64k≥0，即k≤1.

綜合①②可知，實數k的取值集合為{k|k≤1}．

1．若已知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關鍵，如例3中集合A中的元素就是所給方程的根，由此便把集合的元素個數問題轉化為方程的根的個數問題．

2．在學習過程中要注意數學素養的培養，如本例中用到了等價轉化思想和分類讨論的思想．

1．表示一個集合可以用列舉法，也可以用描述法，一般地，若集合元素為有限個，常用列舉法，集合元素為無限個，多用描述法．

2．處理描述法給出的集合問題時，首先要明确集合的代表元素，特别要分清數集和點集；其次要确定元素滿足的條件是什麼.

1．思考辨析

(1){1}＝1.(　　)

(2){(1,2)}＝{x＝1，y＝2}．(　　)

(3){x∈R|x>1}＝{y∈R|y>1}．(　　)

(4){x|x2＝1}＝{－1,1}．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．由大于－3且小于11的偶數所組成的集合是(　　)

A．{x|－3<x<11，x∈Z}

B．{x|－3<x<11}

C．{x|－3<x<11，x＝2k}

D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}

D　[由題意可知，滿足題設條件的隻有選項D，故選D.]

3．一次函數y＝x－3與y＝－2x的圖象的交點組成的集合是(　　)

A．{1，－2}　　　　 B．{x＝1，y＝－2}

C．{(－2,1)} D．{(1，－2)}

D　[由得∴兩函數圖象的交點組成的集合是{(1，－2)}．]

4．設集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，試用列舉法表示集合A.

[解]　∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，

∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．