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一階線性非齊次微分方程解的性質
一階線性非齊次微分方程解的性質
更新时间:2025-04-04 19:09:09

我們知道,形容y' P(x)y=Q(x)的微分方程稱為一階線性微分方程。

當Q(x)=0時,則該方程變為一階齊次線性微分方程。

當Q(x)不等于0時,該方程就叫做一階非齊次線性微分方程。

至于一階齊次線性微分方程和一階非齊次線性微分方程的通解,我們進行記憶即可。

話不多說,我們來看一道實際例題。

一階線性非齊次微分方程解的性質(一階非齊次線性微分方程)1

圖一

如圖所示,這道題正好給出了一個一階非齊次線性微分方程,讓我們來求通解。

我們先來分析一下題目,題目中給出的y' y=f(x)就是一個微分方程,f(x)是R上的連續函數,這裡涉及到連續函數的定義,函數y=f(x)當自變量的x變化很小的時候,引起的因變量y的變化也很小,這裡給出在整個實數域上都是連續的,也就是當x趨向于0時,f(x)也趨向于0.

我之前說過,對于兩個方程的通解公式進行記憶即可,接下來我給出第一題的解決方案。

一階線性非齊次微分方程解的性質(一階非齊次線性微分方程)2

圖二

如圖所示,正如我圖中所講的那樣,兩個公式記憶再代入,那就很快能夠解決這道題目的第一小題,接下來是第二小題的證明題。

一階線性非齊次微分方程解的性質(一階非齊次線性微分方程)3

圖三

如圖所示,這道題時讓我們證明如果f(x)是周期為T的函數,我們就可以先設y(x)是方程的任意解,因為f(x)的周期是T,那就意味着f(x T)=f(x),然後再一步步來解答,這道題就可以很快的證明出來方程存在唯一的以T為周期的解。

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