在解答數學題時，第一步是觀察。觀察是基礎，是發現問題、解決問題的首要步驟。小學數學教材，特别重視培養觀察力，把培養觀察力作為開發與培養學生智力的第一步。

觀察法，是通過觀察題目中數字的變化規律及位置特點，條件與結論之間的關系，題目的結構特點及圖形的特征，從而發現題目中的數量關系，把題目解答出來的一種解題方法。

觀察要有次序，要看得仔細、看得真切，在觀察中要動腦，要想出道理、找出規律。

*例1（适于一年級程度）此題是九年義務教育六年制小學教科書數學第二冊，第11頁中的一道思考題。

書中除圖1-1的圖形外沒有文字說明。這道題旨在引導兒童觀察、思考，初步培養他們的觀察能力。這時兒童已經學過20以内的加減法，基于他們已有的知識，能夠判斷本題的意思是：在右邊大正方形内的小方格中填入數字後，使大正方形中的每一橫行，每一豎列，以及兩條對角線上三個數字的和，都等于左邊小正方形中的數字18。實質上，這是一種幻方，或者說是一種方陣。

解：現在通過觀察、思考，看小方格中應填入什麼數字。從橫中行10 6 □=18會想到，18-10-6=2，在橫中行右面的小方格中應填入2（圖1-2）。

從豎右列7 2 □=18（圖1-2）會想到，18-7-2=9，在豎右列下面的小方格中應填入9（圖1-3）。

從正方形對角線上的9 6 □=18（圖1-3）會想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中應填入3（圖1-4）。

從正方形對角線上的7 6 □=18（圖1-3）會想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中應填入5（圖1-4）。

從橫上行3 □ 7=18（圖1-4）會想到，18-3-7=8，在橫上行中間的小方格中應填入8（圖1-5）。

又從橫下行5 □ 9=18（圖1-4）會想到，18-5-9=4，在橫下行中間的小方格中應填入4（圖1-5）。

圖1-5是填完數字後的幻方。

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例2 看每一行的前三個數，想一想接下去應該填什麼數。（适于二年級程度）

6、16、26、____、____、____、____。

9、18、27、____、____、____、____。

80、73、66、____、____、____、____。

解：觀察6、16、26這三個數可發現，6、16、26的排列規律是：16比6大10，26比16大10，即後面的每一個數都比它前面的那個數大10。

觀察9、18、27這三個數可發現，9、18、27的排列規律是：18比9大9，27比18大9，即後面的每一個數都比它前面的那個數大9。

觀察80、73、66這三個數可發現，80、73、66的排列規律是：73比80小7，66比73小7，即後面的每一個數都比它前面的那個數小7。

這樣可得到本題的答案是：

6、16、26、36、46、56、66。

9、18、27、36、45、54、63。

80、73、66、59、52、45、38。

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例3 将1～9這九個數字填入（圖1-6）的方框中，使圖中所有的不等号均成立。（适于三年級程度）

解：仔細觀察圖中不等号及方框的排列規律可發現：隻有中心的那個方框中的數小于周圍的四個數，看來在中心的方框中應填入最小的數1。再看它周圍的方框和不等号，隻有左下角的那個方框中的數大于相鄰的兩個方框中的數，其它方框中的數都是一個比一個大，而且方框中的數是按順時針方向排列越來越小。

所以，在左下角的那個方框中應填9，在它右鄰的方框中應填2，在2右面的方框中填3，在3上面的方框中填4，以後依次填5、6、7、8。

圖1-7是填完數字的圖形。

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例4 從一個長方形上剪去一個角後，它還剩下幾個角？（适于三年級程度）

解：此題不少學生不加思考就回答："一個長方形有四個角，剪去一個角剩下三個角。"

我們認真觀察一下，從一個長方形的紙上剪去一個角，都怎麼剪？都是什麼情況？

（1）從一個角的頂點向對角的頂點剪去一個角，剩下三個角（圖1-8）。

（2）從一個角的頂點向對邊上任意一點剪去一個角，剩下四個角（圖1-9）。

（3）從一個邊上任意一點向鄰邊上任意一點剪去一個角，

剩下五個角（圖1-10）。

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例5 甲、乙兩個人面對面地坐着，兩個人中間放着一個三位數。這個三位數的每個數字都相同，并且兩人中一個人看到的這個數比另一個人看到的這個數大一半，這個數是多少？（适于三年級程度）

解：首先要确定這個三位數一定是用阿拉伯數字表示的，不然就沒法考慮了。

甲看到的數與乙看到的數不同，這就是說，這個三位數正看、倒看都表示數。在阿拉伯數字中，隻有0、1、6、8、9這五個數字正看、倒看都表示數。

這個三位數在正看、倒看時，表示的數值不同，顯然這個三位數不能是000，也不能是111和888，隻可能是666或999。

如果這個數是666，當其中一個人看到的是666時，另一個人看到的一定是999，999-666=333，333正好是666的一半。所以這個數是666，也可以是999。

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*例6 1966、1976、1986、1996、2006這五個數的總和是多少？（适于三年級程度）

解：這道題可以有多種解法，把五個數直接相加，雖然可以求出正确答案，但因數字大，計算起來容易出錯。

如果仔細觀察這五個數可發現，第一個數是1966，第二個數比它大10，第三個數比它大20，第四個數比它大30，第五個數比它大40。因此，這道題可以用下面的方法計算：

1966 1976 1986 1996 2006

=1966×5 10×（1 2 3 4）

=9830 100

=9930

這五個數還有另一個特點：中間的數是1986，第一個數1966比中間的數1986小20，最後一個數2006比中間的數1986大20，1966和2006這兩個數的平均數是1986。1976和1996的平均數也是1986。這樣，中間的數1986是這五個數的平均數。所以，這道題還可以用下面的方法計算：

1966 1976 1986 1996 2006

=1986×5

=9930

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例7 你能從400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16中得到啟發，很快算出（1）600÷25（2）900÷25（3）1400÷25（4）1800÷25（5）7250÷25的得數嗎？（适于四年級程度）

解：我們仔細觀察一下算式：

400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16

不難看出，原來的被除數和除數都乘以4，目的是将除數變成1後面帶有0的整百數。這樣做的根據是"被除數和除數都乘以一個相同的數（零除外），商不變"。

進行這種變化的好處就是當除數變成了1後面帶有0的整百數以後，就可以很快求出商。按照這個規律，可迅速算出下列除法的商。

（1）600÷25 （2）900÷25

=（600×4）÷（25×4） =（900×4）÷（25×4）

=600×4÷100 =900×4÷100

=24 =36

（3）1400÷25 （4）1800÷25

=（1400×4）÷（25×4） =（1800×4）÷（25×4）

=1400×4÷100 =1800×4÷100

=56 =72

（5）7250÷25

=（7250×4）÷（25×4）

=29000÷100

=290

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*例8 把1～1000的數字如圖1-11那樣排列，再如圖中那樣用一個長方形框框出六個數，這六個數的和是87。如果用同樣的方法（橫着三個數，豎着兩個數）框出的六個數的和是837，這六個數都是多少？（适于五年級程度）

解：（1）觀察框内的六個數可知：第二個數比第一個數大1，第三個數比第一個數大2，第四個數比第一個數大7，第五個數比第一個數大8，第六個數比第一個數大9。

假定不知道這幾個數，而知道上面觀察的結果，以及框内六個數的和是87，要求出這幾個數，就要先求出六個數中的第一個數：

（87-1-2-7-8-9）÷6

＝60÷6

=10

求出第一個數是10，往下的各數也就不難求了。

因為用同樣的方法框出的六個數之和是837，這六個數之中後面的五個數也一定分别比第一個數大1、2、7、8、9，所以，這六個數中的第一個數是：

（837-1-2-7-8-9）÷6

＝810÷6

=135

第二個數是：135 1=136

第三個數是：135 2=137

第四個數是：135 7=142

第五個數是：135 8=143

第六個數是：135 9=144

答略。

（2）觀察框内的六個數可知：①上、下兩數之差都是7；②方框中間堅行的11和18，分别是上橫行與下橫行三個數的中間數。

11=（10 11 12）÷3

18=（17 18 19）÷3

所以上橫行與下橫行兩個中間數的和是：

87÷3＝29

由此可得，和是837的六個數中，橫向排列的上、下兩行兩個中間數的和是：

837÷3＝279

因為上、下兩個數之差是7，所以假定上面的數是x，則下面的數是x 7。

x （x 7）=279

2x 7=279

2x=279-7

=272

x=272÷2

=136

x 7=136 7

=143

因為上一橫行中間的數是136，所以，第一個數是：136-1=135

第三個數是：135 2=137

因為下一橫行中間的數是143，所以，

第四個數是：143-1=142

第六個數是：142 2=144

答略。

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*例9 有一個長方體木塊，鋸去一個頂點後還有幾個頂點？（适于五年級程度）

解：（1）鋸去一個頂點（圖1-12），因為正方體原來有8個頂點，鋸去一個頂點後，增加了三個頂點，所以，

8-1 3=10

即鋸去一個頂點後還有10個頂點。

（2）如果鋸開的截面通過長方體的一個頂點，則剩下的頂點是8-1 2=9（個）（圖1-13）。

（3）如果鋸開的截面通過長方體的兩個頂點，則剩下的頂點是8-1 1=8（個）（圖1-14）。

（4）如果鋸開的截面通過長方體的三個頂點，則剩下的頂點是8-1=7（個）（圖1-15）。

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例10 将高都是1米，底面半徑分别是1.5米、1米和0.5米的三個圓柱組成一個物體（圖1-16），求這個物體的表面積S。（适于六年級程度）

解：我們知道，底面半徑為γ，高為h的圓柱體的表面積是2πγ2 2πγh。

本題的物體由三個圓柱組成。如果分别求出三個圓柱的表面積，再把三個圓柱的表面積加在一起，然後減去重疊部分的面積，才能得到這個物體的表面積，這種計算方法很麻煩。這是以一般的觀察方法去解題。

如果我們改變觀察的方法，從這個物體的正上方向下俯視這個物體，會看到這個物體上面的面積就像圖1-17那樣。這三個圓的面積，就是底面半徑是1.5米的那個圓柱的底面積。所以，這個物體的表面積，就等于一個大圓柱的表面積加上中、小圓柱的側面積。

（2π×1.52 2π×1.5×1） （2π×1×1） （2π×0.5×1）

=（4.5π 3π） 2π π

=7.5π 3π

=10.5π

=10.5×3.14

=32.97（平方米）

答略。

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*例11 如圖1-18所示，某鑄件的橫截面是扇形，半徑是15厘米，圓心角是72°，鑄件長20厘米。求它的表面積和體積。（适于六年級程度）

解：遇到這樣的題目，不但要注意計算的技巧，還要注意觀察的全面性，不可漏掉某一側面。圖1-18表面積中的一個長方形和一個扇形就容易被漏掉，因而在解題時要仔細。

求表面積的方法1：

＝3.14×45×2 600 120×3.14

=3.14×90 3.14×120 600

=3.14×（90 120） 600

=659.4 600

=1259.4（平方厘米）

求表面積的方法2：

=3.14×210 600

=659.4 600

=1259.4（平方厘米）

鑄件的體積：

=3.14×225×4

=3.14×900

=2826（立方厘米）

答略。

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小學奧數解題技巧大全60講（共625頁）｜第一講《觀察法》已經分享完了，如需更多其他章節的家長可以在評論區留言。

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