提要

等腰三角形是最常見的圖形，由于它具有一些特殊性質，因而在生活中被廣泛應用。等腰三角形的性質，特别是它的兩個底角相等的性質，可以實現一個三角形中邊相等與角相等之間的轉化，也是今後論證兩角相等的重要依據之一。等腰三角形“三線合一”是今後論證兩條線段相等及線段垂直的重要依據。遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題。同時，要注意在底和腰沒有明确的條件下需分類讨論。

知識全解

一．定義

有兩條邊相等的三角形稱為等腰三角形，其中相等的兩條邊稱為等腰三角形的腰，另一條稱為底邊，兩腰的夾角稱為頂角，腰和底邊的夾角稱為底角。

二．性質

（1） 等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在直線是它的對稱軸。

（2） 等腰三角形兩底角相等

（3） 等腰三角形底邊上的高線，中線，頂角平分線重合（簡稱“三線合一”）

三．判定

有兩個角相等的三角形是等腰三角形，簡稱“等角對等邊”

方法點撥

類型1 三線合一性質應用

例1 如圖所示，點D，E在△ABC的邊BC上，AB=AC，BD=CE。求證：AD=AE

【分析】根據等腰三角形的“三線合一”性質，過頂角的頂點作底邊上的高

【解答】過點A作AF⊥BC于點F，

∵AB=AC

∴BF=CF

又∵BD=CE

∴DF=EF

∴AD=AE

【總結】等腰三角形三線合一是等腰三角形的重要性質，在解答有關等腰三角形問題時如果知道三線中的“一線”，就可以得出其他“兩線”，但要注意使用條件和使用規範。如果沒有給出三線中的一個，則可以通過條件輔助線的方法構造出相應圖形。

類型2 方程思想求角度

例2 如圖所示，在△ABC中，D是邊BC上的一點，AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度數

【分析】由AD=BD得∠BAD=∠DBA，由AB=AC=CD得∠CAD=∠CDA=2∠DBA，∠DBA=∠C，從而可推出∠BAC=3∠DBA，根據三角形的内角和定理即可求得∠DBA的度數，從而不難求出∠BAC的度數。

【解答】∵AD=BD

∴設∠BAD=∠DBA=x

∵AB=AC=CD

∴∠CAD=∠CDA=∠BAD ∠DBA=2x，∠DBA=∠C=x

∴∠BAC=3∠DBA=3x

∵∠ABC ∠BAC ∠C=180

∴5x=180

∴∠DBA=36

∴∠BAC=3∠DBA=108

【總結】本題根據等腰三角形性質得出相等的角，再結合三角形内角和，外角性質列出方程求解。

類型3 等角三角形的判定

例3 如圖所示，AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE‖AC，求證：BE=DE

【分析】由AD平分∠BAC，得出∠EAD=∠CAD，DE‖AC，得出∠CAD=∠ADE，進一步得出∠EAD=∠ADE，再進一步利用等角的餘角相等得出∠BDE=∠B，證得結論。

【解答】∵AD平分∠BAC

∴∠EAD=∠CAD

∵DE‖AC

∴∠CAD=∠ADE

∴∠EAD=∠ADE

∵BD⊥AD

∴∠ADE ∠BDE=90

∴∠EAD ∠B=90

∴∠BDE=∠B

∴BE=DE

【總結】證明線段相等，如果要證明的兩條線段在同一個三角形中，通常考慮根據“等角對等邊”來證明