#頭條創作挑戰賽#

不定積分的定義總是伴随着原函數的定義的。想要理解不定積分的定義，就要理解原函數的定義及其重要定理。

定義1：設函數f與F在區間I上都有定義，若F’(x)=f(x), x∈I，則稱F為f在區間I上的一個原函數.

注意，F隻是f的一個原函數，說明有不止一個原函數，F是f衆多原函數中的一個在而已。

關于原函數有兩個重要的定理，第一個簡單地說，是連續函數必定有原函數。即：

定理1：若函數f在區間I上連續，則f在I上存在原函數F，即F’(x)=f(x), x∈I.

這個定理以後再證明，現在記住它就可以了。因為要證明它，需要用到變上限的定積分的知識。

定理2：設F是f在區間I上的一個原函數，則

1、F C也是f在I上的原函數，其中C為任意常量函數；

2、f在I上的任意兩個原函數之間，隻可能相差一個常數.

證明：1、依題意F’=f，則當C為常量函數時，(F C)’=F’=f，得證.

2、設F,G是f在I上的任意兩個原函數，則有(F-G)’=F’-G’=f-f=0.

根據拉格朗日中值定理推得：F-G≡C, C為常量函數.

定理的第一點是原函數的充分條件，第二點是原函數的必要條件，合起來就成了充要條件。

關于“拉格朗日中值定理”這一句可能讓不少小夥伴理解不了。怎麼就跟拉格朗日中值定理有關了呢？

因為F-G在I上符合拉格朗日中值定理的條件，任取一個閉區間[a,b]屬于I，就有((F-G)(b)-(F-G)(a))=(F-G)'(ξ)(a-b)=0，所以(F-G)(b)=(F-G)(a)。又這個區間是任取的，所以函數F-G就是一個常量函數，記為C。

對原函數的定義有了深刻理解之後，就可以來理解不定積分的定義了。

定義2：函數f在區間I上的全體原函數稱為f在I上的不定積分，記作：∫f(x)dx，其中稱∫為積分号，f(x)為被積函數，f(x)dx為被積表達式，x為積分變量.

注：若F是f的一個原函數，則f的不定積分是一個函數族{F C}, C為任意常數，寫作：∫f(x)dx=F(x) C. 其中C為積分常量. 于是有：

[∫f(x)dx]’=[F(x) C]’=f(x)；【不定積分的導數，就是原函數的導數，結果等于被積函數。不定積分看作穿衣，求導看作脫衣，穿了脫，結果還是沒穿。】

d∫f(x)dx=d[F(x) C]=f(x)dx. 【不定積分的微分，就是對原函數的積分，寫成F'(x)dx就更容易明白了】

現在你理解什麼是不定積分了嗎？

最後再來看幾個簡單的例子，加深對不定積分定義的理解。

例：因為(sinx)’=cosx, 所以∫cosdx=sinx C.

因為(lnx)’=1/x, 所以∫1/xdx=lnx C.

因為(e^x)’=e^x, 所以∫e^xdx=e^x C.

因為x’=1, 所以∫dx=x C.

因為(x^2)’=2x, 所以2∫xdx=x^2 C.

你還能舉出更多的例子嗎？