運用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”和“三角形任意兩邊之差小于第三邊”，可以解決三角形三邊之間的關系問題。由于這兩個知識點後者可以由前者推得，所以處理三角形三邊之間的關系問題有前者就足夠了。前一知識點的另一個說法是：若a、b、c分别為三角形的三邊，則可以随意推得下列結論中的一個或幾個，即a b>c，①b c>a，②c a>b③；反之，若要使a、b、c能夠成為某個三角形的三邊（構成三角形），則①、②、③必須同時成立，缺一不可。

一、三邊大小關系确定型

若a≥b≥c，則①、③兩式恒成立，此時隻須滿足b c>a即可，亦即三角形較小兩邊之和大于最大邊。

例1、已知線段a、b、c的長度滿足a<b<c，那麼以a、b、c組成三角形的條件是（ ）

A、c-a<b

B、2b<a c

C、c-b>a

D、b²<ac

解析：C為最長邊，故a b>c即可，由此式有c-a<b，故本題應選A。

例2、設a>0，某三角形的三邊長依次為a-2，a，a 3，求a的取值範圍。

解析：易知a-2<a<a 3，則（a-2） a>a 3，故a>5。

例3、下列能組成三角形的一組線段是（ ）

A、2，3，5

B、2，6，3

C、a 2，2a 3，3a 4（a>0）

D、1-a，2-a，3-2a（a<0）

解析：在A中，2 3=5；在B中2 3<6；在C中，a 2<2a 3<3a 4，且有（a 2） （2a 3）>3a 4；在D中，（1-a） （2-a）=3-2a。綜上可知，A、B、D應排除，正确答案為C。

二、僅有兩邊大小關系确定型

若a≥b，則③式恒成立，此時隻須滿足a b>c且b c>a即可，針對第三邊c，由此兩式易得a-b<c<a b，亦即三角形的第三邊大于長邊與短邊之差，而小于長邊與短邊之和。

例4、兩根木棒的長分别為8cm，10cm，要選擇第三根木棒将它們釘成一個三角形，那麼第三根木棒長x的範圍是 。

解析：因10>8，故l0cm-8cm<x<10cm 8cm，即2cm<x<18cm。

例5、已知等腰三角形的周長為20，腰長為x，求x的取值範圍。

解析：易知三邊長分别為x，x，20-2x，因x=x，故視20-2x為第三邊，則x-x<20-2x<x x，即0<20-2x<2x。解得5<x<10。

例6、已知：三角形的一邊是另一邊的2倍，求證：它的最小邊長在它周長的

與

之間。

解析：設三邊分别為a，b，c，且a=2b。因a>b，c為第三邊，故a-b<c<a b，即2b-b<c<2b b。∴b<c<3b，由此知b為最小邊，并繼續有（a b） b<（a b） c<（a b） 3b，∴2b b b<a b c<2b b 3b，4b<a b c<6b，解得

（a b c）<b<

（a b c）。

三、三邊大小關系未定型

此種情況須綜合考慮①、②、③，才能正确解題。

例7、三角形的邊長分别為a、b、c，且|b c-2a| （b c-5）²=0，則b的取值範圍是 。

解析：由題設條件易得b c=5，a=

，此時b c>a已成立，考慮①、③，得

b>5-b且（5-b）

>b，解得b>

且b<

。∴

<b<

。

例8、設三邊不等的三角形的各邊之長都是整數，周長等于15，那麼這種三角形的個數有

個。

解析：設三邊分别為a,b,c,且a>b>c，則b c>a，∴a b c>2a，即15>2a，∴a<7.5。

又a>b, a>c, ∴2a>b c，3a>a b c，即3a>15，∴a>5。又a<7.5，∴5<a<7.5，a=6或7。

當a=6時，b c=9，易知滿足6>b>c的整數為b=5，c=4；當a=7時，b c=8，易知滿足7>b>c的整數為b=6，c=2或b=5，c=3。故填3。

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