人們總是熱衷于做很多行業的排行榜，在數學家的排行榜上，公認的阿基米德，牛頓，高斯，歐拉，黎曼穩居前五。假如還有人鑽牛角尖，非要在這五位大神裡選出NO1,可能至少一半的人都會把票投給高斯。沒錯，高斯在數學上的創造力和地位基本上是無人撼動的，也是當之無愧的數學王子。

高斯大神

别看高斯後來在哥廷根大學獨當一面，甚至以一人之力讓德國成為當時的世界數學中心，但是高斯的出身卻是十分卑微的。1777年，高斯出生在一個泥瓦匠的家庭，母親沒有接受過教育，父親曾經做過包工頭。在這樣的家庭環境裡，真的難以想象會出現科學大師一類的人物。不過凡事總有轉機，高爸爸做過很多工作，工頭隻是其中一個，他還做過商人助理，甚至保險評估師，正是評估師這個職位，讓高斯有了數學上的啟蒙。據說，高斯三歲就已經可以幫助父親來算賬了，這數學天賦顯露地也太早了吧。

陪伴高斯小時候的蘿蔔燈

我們大家都知道高斯小時候關于簡化1 2 3 ... 100的計算，這種方法是在高斯9歲的時候想出來的。然而他的父親卻并不十分認可讀書的意義，隻是認為讀書可以讓高斯以後有個更好的出路。幸好，高斯的老師布呂特内爾與他的助手馬丁·巴爾特斯已經完全被小高斯數學上的潛能折服，認為高斯絕非池中之物，他日定會成為舉世聞名的數學大師。他們的眼光完全沒有錯，同時當地的著名人物卡爾·布倫瑞克也非常欣賞高斯的才能，從14歲開始就一直資助高斯完成學業。有了這樣良好的外部條件，高斯在求學之路上一帆風順。1795年，高斯18歲就進入哥廷根大學學習，并在第二年做出了第一個讓高斯名留青史的成果。

哥廷根大學

在進入哥廷根大學之前，高斯的數學才能就已經比較有名了，在大學裡教授他數學的導師自然對他是另外對待。每天都會布置給高斯三道題作為晚上的作業。高斯一向都完成得很好，老師也相當滿意。在1796年的某一天，這位老師可能是還沒想好布置哪三道題給高斯做習題，糊裡糊塗地把一道困擾人類2000多年的難題也混在這三道題裡。高斯也不知道這種情況，拿回去就開始做了起來。前面兩道常規問題，對于高斯而言那是沒有任何難度的，不到2小時，完全解決，于是繼續第三題。然而高斯越做越頭大，看來這道題真是個挑戰。

這道題就是：

能否僅用直尺和圓規作出一個正十七邊形。

高斯的努力和勤奮就像他與生俱來的數學天賦一樣熠熠生輝。這最後一題做不出來，我就不休息！于是，從傍晚到深夜，再到淩晨，最後直到拂曉。高斯終于深深喘了口氣，他終于完成了老師交給他的作業。還沒怎麼休息的高斯，拖着疲憊的身體把作業交到了老師手裡，并告訴老師，第三道題對于他來說太難了，他居然花了一夜才搞定。

正十七邊形尺規作圖問題

老師接過作業時手顫抖了，仔細地看下高斯的作業，心裡也顫抖了，高斯是對的！困擾數學界2000年的難題居然被高斯在一個晚上就解決了！！！一個阿基米德，牛頓都頭疼不已的題目在高斯這兒居然一個晚上就解決了！！！我們可以想象當時老師激動到無法言喻的心情。。。

下面曉然菌和大家來欣賞一下那個晚上高斯完成的曠世之作吧。

我們前面已經知道了可以尺規作圖的前提條件是什麼，就是所有的數必須要是規矩數才行。在三分一角的問題裡，我們知道，假如三等分一角問題可以用尺規作圖解決，

三等分角判定方程

那就相當于上面的方程裡，cos(θ/3)可以用cos(θ)的加減乘除和有限次二次根式表達出來。那麼對于正十七邊形來說，可以尺規作出的條件是什麼呢？角度(2π/17)可以用尺規做出來，也就是要證明cos(2π/17)是個規矩數，即cos(2π/17)可以用有理數的有限次加減乘除和開方運算表示出來。

下面開始：

第一步 建立基本的等價關系式

由第(2)式和第(6)式，我們建立了一個關鍵的等價關系，這也為我們繼續求解奠定了基礎。

第二步 初步獲得解決方案

到了第(10)式，我們采用的方法已經初步看到成效，下面關鍵的就是如何求出cosα，再繼續：

第三步 完全建立等價的一元二次方程

這裡的(13)式又是一個一元二次方程的根與系數的關系式，于是我們聯立前面的(12)式，就可以解出cosα。這裡最終的結果是：

第四步 最終求得cos(2π/17)

至此，我們終于得到了cosα的表達式，沒辦法，這個cos(2π/17)的表現形式就是這麼恐怖。雖然這個值看起來繁雜不堪，但是，我們借助之前尺規作圖成立的定理一下子就可以看出來，(14)式完全可以由有理數的加減乘除和有限次開平方得到，于是，正十七邊形可以用尺規作出！

這就是高斯那一晚的全部工作，堪稱石破天驚。

我們來回顧一下高斯的解法的關鍵處。用高斯的方法，首先就是要将2π/17這個非特殊角度轉換成用特殊角度的組合表示，其次就是對于三角函數的恒等變換，雖然這一步的工作相當基礎，但是高斯正是通過這一系列繁雜的恒等變換，層層推進，最終計算得到了cosα的精确值。

這裡我們用到了2次一元二次方程根與系數的關系來求出中間過渡值，在正十七邊形中，一直是一元二次方程的根式解在起作用。這是一個比較巧合的事情，那麼對于别的正多邊形呢？恐怕運氣就不是那麼好了，隻要我們使用這套方法中途被卡住一步，那麼整個推導就進行不下去了。如果求解過程中突然出現一個三次方程的求解，那麼就宣布這條路走不通了。

高斯在解決這個問題的角色是建築設計師

既然高斯證明了正十七邊形可以尺規作出，那麼具體的作法呢？高斯就沒有參與了。這就好比是高斯是一座宏偉建築的設計師，他從選址，材料，排水系統，建築風格，以及主體架構等各個方面都提出了細緻的方案。有了建築師的設計方案，随便找個負責任的建造師都是可以把這座建築建起來的。但是如果沒有建築師的工作，再優秀的建造師也是難為無米之炊。事實上，曆史上的著名建築，人們最多隻會記得設計師是誰，幾乎沒有負責建造的人物在曆史留下名字。高斯顯然具有着數學家一向的高傲，時刻都要保持自身逼格不動搖，他不屑于去做建造師的活了。他把目标放得更加長遠，準備去攻克最佳困難的問題了。曆史上第一個正十七邊形尺規作法的是約翰尼斯·厄欽格（Johannes Erchinger）在1825年給出的。

高斯出現在德國發行的10馬克紙币上

如果可以再研究深入一些，我們有可能會得到所有正多邊形的尺規作圖條件。事實上高斯的确做到了這一步。1801年，高斯時年24歲，已經跻身著名數學家的行列了。這一年，高斯發表了巨著《算術研究》，同年得出了正多邊形可以尺規作圖的判定條件。

尺規作圖正多邊形的邊數目必須是2的非負整數次方和不同的費馬素數的積。

我們知道就目前的研究來看，費馬素數一共隻有5個，3,5,17,257,65537。這5個費馬素數與2的非負次方乘積的正多邊形才可以尺規作出。比如：5=2⁰×5,34=2¹×17,12=2²×3。。。都可以用尺規作出，不滿足這個條件的正多邊形就不可以被作出了。值得一提的是，除了5個費馬素數的正多邊形可以尺規作出以外，其餘任意素數正多邊形都是不可以作出的。

費馬墓地

至此，正多邊形尺規作圖這個難題終于被徹底解決，這是尺規作圖領域一個重大問題，僅次于三大作圖難題。

19歲，僅僅是高斯數學生涯巅峰的剛剛開始。

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