一道高中幾何題-求圓的一個弦長
點A， B， C， D在一個圓周上，AC是直徑，∠CBD=∠DBA，如果BC=2， AB=4，求BD的長度。參見下列的草圖，注意這個草圖不成比例。
解：
方法1：利用餘弦定理， 如圖将圖形畫的規範些， 可以看出點D是平分弧DC和弧DA， 這樣D向CA的垂線的垂足為E是圓心。連接BE， 則BE和DE都是半徑， 而直徑AC利用勾股定理，可以求出，因為兩個直角邊為2和4， 所以
帶入值後得出AC=2√5
所以BE=DE=√5
若要利用餘弦定理求BD， 需要求角度∠EDD的餘弦值，因此BF垂直于CA，垂足為F， 并設角∠BEC=α, 如下圖：
BF按照面積的方法可以求出：
BF=（BC·BA）/CA=2·4/(2√5)=4/√5
所以sinα=BF/BE=4/5
因此cos∠BED=cos(α 90°)
=-sinα
=-4/5
随後在三角形BED中用餘弦定理：
BD2=22 42-2x2x4(-4/5)
解出：
BD=3√2
方法2：用正弦定理, 如下圖；
顯然由于是同弧的圓周角相等，∠CDB=∠CAB=θ,
而sinθ=BC/AC=1/√5,
在三角形ABD用正弦定理有：
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