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二次函數與一次函數壓軸題
二次函數與一次函數壓軸題
更新时间:2024-10-05 12:21:56

1、 掌握一次函數和二次函數的性質及圖象特征;

2、 運用一次函數與二次函數的性質解決有關問題。

一、知識點總結

1、一次函數

定義 : 函數 y = kx b ( k ≠ 0 ) 叫做一次函數,它的定義域是 R,值域是 R 。

一次函數的圖象是直線,所以一次函數又叫線性函數;

一次函數 y = kx b ( k ≠ 0 )中,k 叫直線的斜率,b 叫直線在 y 軸上的截距;

當 k > 0 時,函數是增函數 ; 當 k < 0 時,函數是減函數 。

當 b = 0 時, 該函數是奇函數且為正比例函數,直線過原點;b ≠ 0 時,它既不是奇函數,也不是偶函數 。

2、 二次函數

定義: 函數 y = ax^2 bx c ( a ≠ 0 ) 叫做二次函數,它的定義域為是R,圖象是一條抛物線 。

當 b = 0 時 , 該函數為偶函數,其圖象關于 y 軸對稱;

二次函數與一次函數壓軸題(基本初等函數之一次函數與二次函數習題)1

二次函數性質圖(1)

二次函數與一次函數壓軸題(基本初等函數之一次函數與二次函數習題)2

二次函數性質圖(2)

二次函數的三種表示形式

二次函數與一次函數壓軸題(基本初等函數之一次函數與二次函數習題)3

二次函數三種表示形式圖(3)

利用配方法求二次函數 y = ax^2 bx c ( a ≠ 0 ) 的對稱軸方程為: x = -b / (2a) ;

二次函數與一次函數壓軸題(基本初等函數之一次函數與二次函數習題)4

二次函數圖(4)

用待定系數法求函數解析式時,要注意函數對解析式的要求,一次函數、正比例函數、反比例函數的比例系數、二次函數的二次項系數等;要應視具體問題,靈活地選用其形式,再根據題設條件列方程組,确定其系數。

二、典型例題

1、一次函數的性質

例1:已知函數 y=(2m-1)x+1-3m,求當 m 為何值時:

(1)這個函數為正比例函數? (2)這個函數為奇函數? (3)函數值 y 随 x 的增大而減小?

解:(1)由題意,得

二次函數與一次函數壓軸題(基本初等函數之一次函數與二次函數習題)5

例題1圖(1)

∴ m = 1/3 時 ,這個函數為正比例函數 。

(2)函數為奇函數 ,有

二次函數與一次函數壓軸題(基本初等函數之一次函數與二次函數習題)6

例題1圖(2)

∴ m = 1/3 時 ,這個函數為奇函數 。

(3) 由題意,得 2m-1<0,∴ m < 1/2

∴ m < 1/2 , 函數值 y 随 x 的增大而減小 。

2、 求一次函數的解析式

例題2、已知一次函數的圖象經過點A(1,1)、B(-2,7),求這個一次函數的解析式。

解:設 y 關于 x 的函數解析式為 y=ax+b (a≠0),把 A(1,1)、B(-2,7) 的坐标分别代入 y=ax+b,

二次函數與一次函數壓軸題(基本初等函數之一次函數與二次函數習題)7

例題2圖(1)

∴ y關于x的函數解析式為y=-2x+3 。

3、二次函數的值域問題

例3: 已知函數 f(x)=x^2+x-2,則函數 f(x) 在區間 [-1,1) 上 ( D )

A、最大值為0,最小值為-9/4 B、最大值為0,最小值為-2

C、最大值為0,無最小值 D、無最大值,最小值為-9/4

解:

二次函數與一次函數壓軸題(基本初等函數之一次函數與二次函數習題)8

例題3圖(1)

4、含參數的二次函數在閉區間上最值的讨論

例4:求 f(x)=x^2-2ax-1 在 [0,2] 上的最大值 M(a) 和最小值 m(a) 的表達式。

解:f(x)=(x-a)^2-a^2-1,x∈ [0,2],

頂點是(a,-a^2-1),二次項系數為正,圖象開口向上,

對稱軸 x=a, 由 f(x) 在頂點左邊 (即x ≤ a) 單調遞減,在頂點右邊(即x≥a)單調遞增,

所以 f(x) 圖象的對稱軸 x=a 與閉區間 [0,2] 的位置關系(求兩種最值)分4種情況求解.如圖①~④中抛物線的實線部分。

二次函數與一次函數壓軸題(基本初等函數之一次函數與二次函數習題)9

例題4圖(1)

在圖 ① 中,當 a < 0 時,f(x) 在 [0,2] 上單調遞增,所以 M(a)=f(2)=-4a+3,m(a)=f(0)=-1;

在圖②中,當 0 ≤ a < 1,且 f(0) ≤f (2),即0≤a<1時,f(x) 在 [a,2]上單調遞增,

所以M(a)=f(2)=-4a+3,m(a)=f(a)=-a^2-1;

在圖③中,當1≤ a < 2 時, f(x)在[0,a]上單調遞減,最大值M(a)=f(0)=-1,最小值m(a)=f(a)=-a^2-1;

在圖④中,當a ≥ 2 時,f(x) 在 [0,2] 上單調遞減,所以M(a)=f(0)=-1,m(a)=f(2)=-4a+3。

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